Thành viên: Mr. Miệt Zườn
- Trạng thái:
- Thành viên chính thức
- Địa chỉ:
Giới thiệu bản thân
Toán học thật tuyệt vời <3.
Tất cả những gì bạn cần làm là cần thêm một chút thời gian nữa thôi...
Bài viết của Mr. Miệt Zườn
←trang trước]
[trang sau→
Khi $x$ tiến tới $\frac{\pi}{4}$, hàm số $\frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x}$ sẽ có dạng $\frac{0}{0}$ (thay kết quả $x = \frac{\pi}{4}$ vào bạn sẽ tính ra), do đó chúng ta có thể áp dụng được quy tắc [L'Hospital][1] cho bài toán này.
Áp dụng quy tắc L'Hospital, ta có:
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}
Áp dụng công thức đạo hàm $\left( \frac{1}{u} \right)'$ cho bài toán này là sai.
Đặt $u = \frac{1}{x+1}$ thì bài toán trở thành đạo hàm của $\ln(u)$, không phải dạng $\frac{1}{u}$.
Kết quả đạo hàm $y' = \frac{-1}{x+1}$ là kết quả do sử dụng công thức đạo hàm $[\ln(u)]' = \frac{u'}{u}$, ta có:
-
Đặt,
$$\text{L} = \lim_{x \to 0+} x \ln(x)$$
> Giả sử bạn thay giá trị $0+$ vào giới hạn $\text{L}$, thì:
> - $x = 0+ = 0$
> - $\ln(x) = \ln(0+) = - \infty$
Vậy có thể xác định ngay bài toán này nằm trong [7 dạng giới hạn vô định][1] mà cụ thể ở đây là dạng vô định $0 \cdot \infty$.
Đố
Giả sử rằng bạn đã biết khái niệm đường tròn đơn vị và một số tính chất của góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị, bài toán này cần thêm lý thuyết của giới hạn kẹp nữa.
Đầu tiên, chúng ta nên biết một chút về giới hạn kẹp.
> Giả sử ta có một số $b$ bị kẹp giữa hai số $a$ và $c$ như sau
Công thức trên thật ra là một dạng mở rộng từ $x$ sang biểu thức $u$, để chứng minh công thức trên, ta chỉ cần đi ngược về lại trường hợp của $x$, sử dụng định nghĩa đạo hàm để chứng minh tại $\ln(x)'$, sau đó kết hợp lại.
Muốn làm được điều này ta cần dựa vào quy tắc đạo hàm từng phần (đạo hàm chu
Nếu tích phân ở một dạng không thể giải quyết trực tiếp được, ta có thể sử dụng phương pháp **thay thế** nhằm mục đích đưa về một dạng khác dễ giải hơn mà đa số là đưa bài toán về dạng **tích phân từng phần**, sau đó bạn có thể áp dụng công thức tích phân từng phần để giải quyết.
Đặt $u = \arcsin x
Những tích phân có dạng $e^x$ nhân với một biểu thức nào đó mà trong trường hợp cụ thể này là $\cos x$ thì cách tốt nhất là dùng **tích phân từng phần** với công thức,
> $$\int u v' = u v - \int u' v$$
> **Lưu ý:**
> - $v'$ chính là $dv$, chính xác hơn là $\frac{dv}{dx}$
> - $u'$ chín
$\frac{1}{\cos x}$ có thể được chuyển thành $(\cos x)^{-1}$.
Sau đó, áp dụng công thức đạo hàm $U^n = n U^{n - 1} U'$, ta có:
$$
\begin{align}
\left[ (\cos x)^{-1} \right]' & = (-1) (\cos x)^{-2} (\cos x)' \\\\
& = (-1) (\cos x)^{-2} (- \sin x) \\\\
& = \sin x (\cos x)^{-2} \\\\
&
Bởi vì toán học cần sự logic và chặt chẽ.
Tính chất cơ bản của số mũ là gì?
> Cho $a^x$, thì có nghĩa là số $a$ được **nhân với chính nó** $x$ lần đúng không nào, hay nói cách khác $a^x$ có nghĩa là gấp $x$ lần của $a$.
Ví dụ:
- $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- $5^2 = 5 \times 5 = 25$
Qua
Công thức giai thừa của một số $n$ cho trước,
> $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$$
Ví dụ số $4$ chẳng hạn, giai thừa của số $4$ sẽ bằng,
$$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4$$
Tương tự, giai thừa của số $3$ sẽ bằng,
$$3! = 1 \times 2 \times 3$$
Vậy có thể suy ra,
$$4! = 4 \t