Khoan hãy quan tâm tới $\cos x$, nhìn chung ta thấy biểu thức có dạng thương, do đó có thể áp dụng quy tắc đạo hàm của thương có công thức như sau:

$$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$

Áp dụng vào bài toán:

$$\left( \frac{1}{\cos x} \right)' = \frac{(1)' \cdot \cos x - 1 \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} \hspace{1cm} (1)$$

Theo bảng công thức đạo hàm:

$$(\cos x)' = - \sin x$$

Và đạo hàm của $1$ chính là bằng $0$. Thế vào biểu thức $(1)$:

$$ \begin{align} (1) & \Leftrightarrow \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (- \sin x)}{\cos^2 x} \\ & = \frac{\sin x}{\cos^2 x} \end{align} $$

Có thể dừng lại tại kết quả trên hoặc rút gọn thêm nếu bạn muốn.

$$\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x \cos x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{ \cos x} = \sec x \tan x$$

$\frac{1}{\cos x}$ có thể được chuyển thành $(\cos x)^{-1}$.

Sau đó, áp dụng công thức đạo hàm $U^n = n U^{n - 1} U'$, ta có:

$$ \begin{align} \left[ (\cos x)^{-1} \right]' & = (-1) (\cos x)^{-2} (\cos x)' \\ & = (-1) (\cos x)^{-2} (- \sin x) \\ & = \sin x (\cos x)^{-2} \\ & = \sin x \frac{1}{\cos^2 x} \\ & = \frac{\sin x}{\cos^2 x} \\ \end{align} $$