1
Làm sao để tính tích phân $\int_0^\pi e^x \cos x dx$?
0
Member309910 đã đăng:

thêm bình luận...
1
Mr. Miệt Zườn300 đã đăng:

Những tích phân có dạng $e^x$ nhân với một biểu thức nào đó mà trong trường hợp cụ thể này là $\cos x$ thì cách tốt nhất là dùng tích phân từng phần với công thức,

$$\int u v' = u v - \int u' v$$

Lưu ý:

  • $v'$ chính là $dv$, chính xác hơn là $\frac{dv}{dx}$
  • $u'$ chính là $du$, chính xác hơn là $\frac{du}{dx}$

Gọi,

$$\text{I} = \int_0^\pi e^x \cos x dx \hspace{1cm} (1)$$

Đặt,

$$ \begin{cases} u = e^x \\ dv = \cos x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = \left(e^x \right)' = e^x dx \\ v = \int \cos x dx = \sin x \end{cases} $$

Ráp vào công thức tích phân từng phần, ta được,

$$\text{I} = e^x \sin x - \int_0^\pi e^x \sin x dx$$

Tiếp tục tính tích phân từng phần biểu thức bên trong $\text{I}$: $\int_0^\pi e^x \sin x dx$ thêm lần nữa, đặt,

$$ \begin{cases} u = e^x \\ dv = \sin x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = \left(e^x \right)' = e^x dx \\ v = \int \sin x dx = - \cos x \end{cases} $$

Kết quả tích phân từng phần của biểu thức tích phân bên trong $\text{I}$ bằng:

$$-e^x \cos x - \int_0^\pi -e^x \cos x dx = -e^x \cos x + \int_0^\pi e^x \cos x dx$$

Thay kết quả vào $\text{I}$, ta được,

$$ \begin{align} \text{I} & = e^x \sin x - \left( -e^x \cos x + \int_0^\pi e^x \cos x dx \right) \\ & = e^x \sin x + e^x \cos x - \int_0^\pi e^x \cos x dx \end{align} $$

Ó ò, bài toán này khá đặc biệt, nếu ta dùng tiếp tích phân từng phần nó sẽ tạo thành 1 vòng lẩn quẩn giữa $\sin x$ và $\cos x$, cho nên ta phải nghĩ tới cách làm sao để triệt tiêu hai vế tích phân đi và nhận thấy rằng sau 2 lần dùng tích phân từng phần, vế bên phải đã có dạng giống với biểu thức $(1)$, tức là $\text{I}$.

Ta có,

$$\text{I} = e^x \sin x + e^x \cos x - \text{I}$$

Chuyển vế $\text{I}$ qua cùng một bên,

$$\text{I} + \text{I} = e^x \sin x + e^x \cos x$$ $$2\text{I} = e^x \sin x + e^x \cos x$$

Dễ dàng suy ra,

$$\text{I} = \frac{e^x \sin x + e^x \cos x}{2} = \frac{e^x (\sin x + \cos x)}{2}$$

Cuối cùng thay tiệm cận $0$ tới $\pi$ vào kết quả đã tính nữa là xong.

$$\frac{e^x (\sin x + \cos x)}{2} \bigg|_0^\pi = \frac{-e^\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{-e^\pi - 1}{2}$$

đã bổ sung 20 tháng trước bởi
Avatar: B-Editor B-Editor0
thêm bình luận...

Câu trả lời của bạn

Chào mừng bạn đến với cộng đồng chia sẻ tri thức BanhoiTuidap.com, bạn có thể chia sẻ bất kỳ sự hiểu biết, nghiên cứu hoặc kinh nghiệm của mình về câu hỏi này với một số lưu ý:
  • Lịch sự, tế nhị.
  • Hạn chế ghi tắt, câu trả lời của bạn chỉ nên tập trung vào câu hỏi ở trên.
Câu trả lời của bạn sẽ được đăng ở chế độ cộng đồng, cho nên bạn sẽ không thể chỉnh sửa sau khi đăng, có thể đăng ký thành viên trên BanhoiTuidap.com khi bạn muốn theo dõi câu hỏi này hoặc chủ đề liên quan.
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)