Theo tính chất phép chia hai số mũ có cùng cơ số $a$,

$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$$

Ví dụ,

$$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4 - 3} = 2^1 = 2$$

Vậy cho một số $a$ bất kỳ, ví dụ số $3$ chẳng hạn, ta có thể chứng minh được $3^0 = 1$ dựa vào tính chất trên, ta có,

$$\frac{3}{3} = 1$$

Mà $3$ cũng chính là $3^1$, viết lại vế bên trái như sau,

$$\frac{3^1}{3^1} = 1$$

Phép chia 2 cơ số có cùng số mũ, có thể viết lại vế bên trái tiếp như sau,

$$3^{1 - 1} = 1$$

Kết quả cuối cùng,

$$3^0 = 1$$

Mọi số $a$ bất kỳ đều tuân theo tính chất này bạn có thể tự kiểm chứng.

Xét:

$$1 \times a = a$$ $$1 = \frac{a}{a}$$ $$1 = \frac{a^1}{a^1}$$ $$1 = a^{1 - 1}$$ $$1 = a^0$$

Là kết quả cần chứng minh.

Bởi vì toán học cần sự logic và chặt chẽ.

Tính chất cơ bản của số mũ là gì?

Cho $a^x$, thì có nghĩa là số $a$ được nhân với chính nó $x$ lần đúng không nào, hay nói cách khác $a^x$ có nghĩa là gấp $x$ lần của $a$.

Ví dụ:

• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
• $5^2 = 5 \times 5 = 25$

Quay trở lại câu hỏi của bạn, lấy số $2^0$ làm ví dụ, tạm thời chưa quan tâm tới kết quả của $2^0$ nhé, giả sử ta tính,

$$2^0 = ?$$ $$2^1 = 2$$ $$2^2 = 4$$ $$2^3 = 8$$ $$2^4 = 16$$ $$\dots$$

Bây giờ thay vì tăng giá trị số mũ lên, mình đi theo hướng ngược lại, giảm giá trị số mũ xuống thử xem có tìm ra quy luật gì không, mình có thể viết lại như sau,

$$\dots$$ $$2^4 = 16$$ $$2^3 = 8$$ $$2^2 = 4$$ $$2^1 = 2$$ $$2^0 = ?$$

Bạn có thể dễ dàng tìm ra quy luật khi số mũ giảm,

• Từ $2^4$ sang $2^3$, kết quả sẽ được chia bởi $2$, tức là $16/2 = 8$
• Từ $2^3$ sang $2^2$, kết quả sẽ được chia bởi $2$, tức là $8/2 = 4$
• Từ $2^2$ sang $2^1$, kết quả sẽ được chia bởi $2$, tức là $4/2 = 2$

Vậy để toán học mang tính logic và chặt chẽ, chúng ta nên suy ra từ quy luật ở trên,

• Từ $2^1$ sang $2^0$, kết quả sẽ được chia bởi $2$, tức là $2/2 = 1$

Có nghĩa là $2^0 = 1$, bạn có thể lấy bất kỳ số $a$ nào làm tương tự như trên, khi bạn đi theo hướng mũ ngược lại, kết quả tại mỗi bước sẽ chia đi cho $a$ lần và hiển nhiên kết quả cuối cùng tất yếu sẽ bằng $1$, do đó người ta tổng quát tất cả các trường hợp lên, ta có,

Cho bất kỳ một số $a$ nào đó, thì $a^0$ luôn luôn bằng $1$.