Nếu tích phân ở một dạng không thể giải quyết trực tiếp được, ta có thể sử dụng phương pháp thay thế nhằm mục đích đưa về một dạng khác dễ giải hơn mà đa số là đưa bài toán về dạng tích phân từng phần, sau đó bạn có thể áp dụng công thức tích phân từng phần để giải quyết.

Đặt $u = \arcsin x$, theo tính chất hàm lượng giác ngược, dễ dàng suy ra $x = \sin u$, dùng thông tin này để tính $dx$ với,

$$\frac{dx}{du} = (\sin u)' = \cos u$$

Suy ra,

$$dx = \cos(u) du$$

Thay thế và ta được một dạng tích phân mới theo $u$,

$$\text{I} = \int u^4 \cos(u) du$$

Đến đây ta chỉ việc áp dụng công thức tích phân từng phần cho đến khi nào triệt tiêu $u^4$ thì thôi, chắc cần tới $4$ lần để làm việc này.

Đặt,

$$ \begin{cases} f = u^4 \\ dg = \cos(u) du \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} df = \left(u^4 \right)' = 4u^3 du \\ g = \int \cos(u) du = \sin u \end{cases} $$

Ta được,

$$ \begin{align} \text{I}_1 & = u^4 \sin u - \int 4u^3 \sin(u) du \\ & = u^4 \sin u - 4\int u^3 \sin(u) du \\ & = u^4 \sin u - 4 \text{I}_2 \end{align} $$

Áp dụng quy tắc tích phân từng phần lần thứ hai,

Đặt, $$ \begin{cases} f = u^3 \\ dg = \sin(u) du \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} df = \left(u^3 \right)' = 3u^2 du \\ g = \int \sin(u) du = -\cos u \end{cases} $$

Ta được,

$$ \begin{align} \text{I}_2 & = -u^3 \cos u - \int 3u^2 (-\cos u) du \\ & = -u^3 \cos u + 3 \int u^2 \cos(u) du \\ & = -u^3 \cos u + 3 \text{I}_3 \end{align} $$

Áp dụng quy tắc tích phân từng phần lần thứ ba,

Đặt, $$ \begin{cases} f = u^2 \\ dg = \cos(u) du \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} df = \left(u^2 \right)' = 2u du \\ g = \int \cos(u) du = \sin u \end{cases} $$

Ta được,

$$ \begin{align} \text{I}_3 & = u^2 \sin u - \int 2u \sin u du \\ & = u^2 \sin u - 2 \int u \sin u du \\ & = u^2 \sin u - 2 \text{I}_4 \end{align} $$

Áp dụng quy tắc tích phân từng phần lần thứ tư,

Đặt, $$ \begin{cases} f = u \\ dg = \sin(u) du \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} df = (u)' = du \\ g = \int \sin(u) du = -\cos u \end{cases} $$

Ta được,

$$ \begin{align} \text{I}_4 & = -u \cos u - \int - \cos u du \\ & = -u \cos u + \int \cos u du \\ & = -u \cos u + \sin u + C \end{align} $$

Đã có kết quả cuối cùng, ta có thể quay ngược trở lại để tính $\text{I}$,

$$\text{I} = u^4 \sin u - 4\left[ -u^3 \cos u + 3\left( u^2 \sin u - 2\left[ -u \cos u + \sin u + C \right] \right) \right]$$

Sau khi rút gọn, bạn sẽ được kết quả như sau,

$$\text{I} = u^4 \sin u + 4 u^3 \cos u - 12 u^2 \sin u - 24 u \cos u + 24 \sin u + 24 C \hspace{1cm} (1)$$

Thế ngược trở lại với thông tin ban đầu:

• $u = \arcsin x$
• $\sin u = x$

Và áp dụng công thức:

• $\cos u = \cos( \arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$

$(1)$ sẽ trở thành,

$$x\arcsin^4 x + 4 \arcsin^3 x \sqrt{1 - x^2} - 12x \arcsin^2 x - 24 \arcsin x \sqrt{1 - x^2} + 24x + 24C$$

Biến đổi gọn lại một chút, ta được kết quả cuối cùng,

$$x\arcsin^4 x + \sqrt{1 - x^2} \left( 4 \arcsin^3x - 24 \arcsin x \right) - 12x \arcsin^2 x + 24x + 24C$$