Công thức trên thật ra là một dạng mở rộng từ $x$ sang biểu thức $u$, để chứng minh công thức trên, ta chỉ cần đi ngược về lại trường hợp của $x$, sử dụng định nghĩa đạo hàm để chứng minh tại $\ln(x)'$, sau đó kết hợp lại.

Muốn làm được điều này ta cần dựa vào quy tắc đạo hàm từng phần (đạo hàm chuỗi),

$$f(g(x))' = f(g(x))' g(x)' = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d x}$$

$u$ ở đây chính là $g(x)$, $\ln(u)$ ở đây chính là $f(g(x))$? Để đơn giản hóa đi, mình đặt $y = \ln(u)$, $u$ thực chất chỉ là tên đại diện cho một biểu thức chứa $x$, vậy quy tắc đạo hàm từng phần nói rằng à, muốn xét sự thay đổi (tức là đạo hàm) tại $y$ khi $x$ thay đổi, ta cần phải đi thông qua người quản lý của $x$ chính là $u$, sử dụng $u$ làm cầu nối.

$$y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Vậy ta cần phải đi từng phần, đầu tiên xét sự thay đổi của $y$ khi $u$ thay đổi,

$$y' = (\ln u)' = \frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$$

Tại sao là $\frac{1}{u}$? Bởi vì quy tắc đạo hàm từng phần nói rằng khi bạn đã phân tích đạo hàm ra thành từng phần riêng lẻ rồi thì việc xét đạo hàm của mỗi phần không còn bất kỳ quan hệ gì tới phần còn lại nữa, tức $u$ ở đây được giả sử là một "hộp đen", không cần quan tâm tới giá trị bên trong nó nữa, nó cũng tương tự như $x$ mà thôi, tại sao không cần quan tâm? Bởi vì đã có phần khác đảm nhận rồi, mà công thức đạo hàm của $\ln(x)$ đã được chứng minh bằng $\frac{1}{x}$.

Phần thứ hai tiếp tục xét sự thay đổi của $u$ khi $x$ thay đổi,

$$\frac{du}{dx} = u'$$

Bởi vì công thức đang ở dạng tổng quát, chúng ta chưa biết cụ thể biểu thức chứa $x$ ở đây là gì, nên chỉ việc để $u'$, kết hợp lại bằng phép nhân theo công thức tích phân từng phần, ta có:

$$\ln(u)' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{u'}{u}$$