Khi $x$ tiến tới $\frac{\pi}{4}$, hàm số $\frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x}$ sẽ có dạng $\frac{0}{0}$ (thay kết quả $x = \frac{\pi}{4}$ vào bạn sẽ tính ra), do đó chúng ta có thể áp dụng được quy tắc L'Hospital cho bài toán này.

Áp dụng quy tắc L'Hospital, ta có:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x}= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\sin x - \cos x)'}{(1 - \tan x)'} \hspace{1cm} (1)$$

Đi tính đạo hàm ở tử và mẫu của biểu thức:

• Đạo hàm của $\sin x - \cos x$ bằng $\sin x + \cos x$.
• Đạo hàm của $1 - \tan x$ bằng $-\tan^2(x) - 1$.

(Hai đạo hàm ở trên khá dễ, công cụ tính đạo hàm có thể giải được, nên mình ghi luôn kết quả trực tiếp vào).

Thế kết quả đạo hàm vào $(1)$, ta có:

$$(1) \Leftrightarrow \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{-\tan^2(x) - 1}$$

Giới hạn đã được xác định, bạn có thay trực tiếp $x = \frac{\pi}{4}$ vào và tính kết quả:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{-\tan^2(x) - 1} = \frac{\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}}{-\tan^2(\frac{\pi}{4}) - 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$