Question

Làm thế nào để tính giới hạn của $x \ln(x)$ khi $x$ tiến tới $0+$?

0

Cộng đồng đã đăng:

toán học giải tích giới hạn (toán học)

• •

đã hỏi 5.4 năm trước bởi

Cộng đồng

thêm bình luận...

score 1 · Answer 1

Đặt,

$$\text{L} = \lim_{x \to 0+} x \ln(x)$$

Giả sử bạn thay giá trị $0+$ vào giới hạn $\text{L}$, thì:

$x = 0+ = 0$

$\ln(x) = \ln(0+) = - \infty$

Vậy có thể xác định ngay bài toán này nằm trong 7 dạng giới hạn vô định mà cụ thể ở đây là dạng vô định $0 \cdot \infty$.

Đối với dạng vô định $0 \cdot \infty$, ta chỉ việc biến đổi nó một chút để đưa về dạng vô định $\frac{\infty}{\infty}$ hoặc $\frac{0}{0}$ tùy bạn chọn, sau đó có thể áp dụng công thức L'Hospital, ta có,

$$x \ln(x) \Leftrightarrow \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$$

Khi $x$ tiến tới $0+$, biểu thức $\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ sẽ có dạng $\frac{\infty}{\infty}$ (bạn có thể thay $0+$ vào để thử), tức là đã thỏa mãn quy tắc L'Hospital, áp dụng L'Hospital, ta có,

$$\text{L} = \lim_{x \to 0+} \frac{(\ln(x))'}{\left( \frac{1}{x} \right)'}$$

Đạo hàm của $\ln(x)$ bằng $\frac{1}{x}$, đạo hàm của $\frac{1}{x}$ bằng $-\frac{1}{x^2}$, thay vào ta có,

$$ \begin{align} \text{L} & = \lim_{x \to 0+} \left( \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0+} \left( \frac{-x^2}{x} \right) \\ & = \lim_{x \to 0+} -x \\ & = 0 \end{align} $$