Đơn giản nhất về mặt hình học, đạo hàm là đường thẳng tiếp tuyến mô tả độ dốc tại bất kỳ một điểm nào nằm trên đồ thị của hàm số. Tại sao lại là đường thẳng tiếp tuyến, nó thì có liên quan gì đến đạo hàm, đường thẳng tiếp tuyến mà lại mô tả độ dốc là sao, để hiểu được trước tiên hãy nói về độ dốc.

Độ dốc là gì? Giả sử bạn đang chuẩn bị lên một con đường dốc dài 100 mét, sự chênh lệch tại vị trí bạn đang đứng với vị trí đỉnh dốc (hay còn gọi là chiều cao đường) là 25 mét, lúc này độ dốc sẽ được tính bằng tỉ lệ giữa chiều cao đường chia cho độ dài con đường,

Ta có thể tính độ dốc như sau,

$$\text{độ dốc} = \frac{\text{H}}{\text{D}} = \frac{25}{100} = 0.25$$

Độ dốc càng cao thì con đường càng dốc, tưởng tượng con đường là một đồ thị phi tuyến tính, muốn tính được độ dốc ta cần biết hai điểm nằm trên đồ thị, hay nói cách khác độ dốc chính là đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ nằm trên đường cong (toán học gọi là đường cát tuyến).

Okê, bây giờ đưa con đường kia vào hệ tọa độ $Oxy$, gọi A và B là hai điểm bất kỳ trên con đường (đồ thị),

Ta có đường cát tuyến đi qua hai điểm A và B, giả sử điểm A cố định, điểm B di chuyển, khi nó di chuyển gần tới A, đường cát tuyến sẽ ngày càng xấp xỉ một đoạn nhỏ của đường cong một cách chính xách hơn,

Khi B tiến tới bằng A, tức B với A là cùng 1 điểm, đường cát tuyến sẽ trở thành đường tiếp tuyến, do thừa hưởng tính chất độ dốc từ đường cát tuyến, đường tiếp tuyến tại vị trí A cũng là một đường thẳng mô tả độ dốc tại vị trí A và nó được gọi là đạo hàm tại vị trí A. Nếu hiểu được chỗ này, bạn sẽ hiểu được tại sao công thức định nghĩa của đạo hàm lại sử dụng giới hạn, hãy nhìn mối quan hệ giữa công thức đạo hàm và ý nghĩa hình học mô tả của nó một chút,

Trong công thức đạo hàm, giới hạn là tại vị trí đang xét (điểm A), h tiến tới $0$ có nghĩa là $x + h$ tiến tới $x$, hay B tiến tới và giới hạn tại điểm A, nhìn công thức đạo hàm có vẻ quen thuộc nhỉ, nếu tới đây bạn chưa nghiệm ra được gì đó thì hãy bắt đầu lại từ cách tính độ dốc.

Vậy tóm lại về mặt hình học, chúng ta sẽ tính được độ dốc khi biết được vị trí hai điểm của đồ thị hàm số nào đó trên hệ trục tọa độ, đường thẳng nối hai điểm là đường cát tuyến, khi điểm thứ hai tiến về trùng với điểm thứ nhất, đường cát tuyến trở thành đường tiếp tuyến, đạo hàm chính là cách để xác định đường tiếp tuyến tại 1 vị trí bất kỳ trên đồ thị dựa vào tỉ lệ thay đổi giữa chúng.

NOTE: nếu bạn không hiểu mình đang nói gì, để lại bình luận hoặc đọc lại từ đầu một cách chậm rãi và từ từ suy ngẫm...