1
Đạo hàm của x mũ x là gì?
1
Thành Lợi10 đã đăng:

Ta có hàm số:

$$f(x) = x^x$$

Bạn nào có thể tính đạo hàm của hàm số $f'(x)$?

thêm bình luận...
2
Ðình Tuấn20 đã đăng:

Mặc dù đạo hàm của x mũ x có dạng gần giống với công thức đạo hàm $a^x$ hoặc $x^n$ nhưng chúng ta không thể sử dụng công thức đó để triển khai được, vì đơn giản hai biến $x$ và $x$ là hai đại lượng chưa biết. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khác dựa vào hàm Lôgarit cơ số $e$ hay $\ln()$, mục đích chúng ta đưa về dạng Lôgarit để khử mũ $x$ đi, khi về dạng hàm lôgarit cơ bản ta có thể giải được bài toán này.

Mình sẽ giải như sau, đặt:

$$y = f(x) = x^x \hspace{1cm} (1)$$

Đầu tiên, đặt Lôgarit hai bên vế của biểu thức (1) ta có: $$\ln(y) = \ln(x^x)$$

Ở vế phải, áp dụng tính chất của hàm Logarit, đưa mũ $x$ ra ngoài $\ln()$, ta được: $$\ln(y) = x\ln(x) \hspace{1cm} (2)$$

Áp dụng các công thức đạo hàm sau vào bài toán này đó là:

  • Đạo hàm của hàm lôgarit: $f(x) = \ln(x) \Longrightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$
  • Quy tắc đạo hàm của tích: $h(x) = f(x)g(x) \Longrightarrow h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
  • Quy tắc đạo hàm chuỗi (từng phần): $h(x) = f(g(x)) \Longrightarrow h'(x) = f'(g(x))g'(x)$

Đạo hàm hai vế của phương trình (2),

$$\left[ \ln(y) \right]' = \left[ x\ln(x) \right]' $$

Vế trái sử dụng quy tắc đạo hàm của chuỗi, còn vế phải sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta được:

$$\left[ \ln(y) \right]' y' = x' \ln(x) + x \left[ \ln(x) \right]'$$

Áp dụng công thức đạo hàm lôgarit, ta được:

$$\frac{1}{y}y' = 1 \ln(x) + x\frac{1}{x}$$

Hay,

$$\frac{1}{y}y' = \ln(x) + 1$$

Suy ra,

$$y' = \frac{\ln(x) + 1}{\frac{1}{y}}$$

Chia phân số sẽ bằng nhân nghịch đảo, ta được:

$$y' = y(\ln(x) + 1)$$

Thay $y = x^x$ như đề bài đã cho, ta được kết quả cuối cùng:

$$y' = f'(x) = x^x(\ln(x) + 1)$$

đã bổ sung 2.4 năm trước bởi
Zootopia60
Bình Định

Vì $y$ có dạng là một biểu thức với $y = f(x) = x^x$ cho nên ở vế trái nếu bạn sử dụng luôn công thức đạo hàm của $\ln (u)$ với,

$$\ln(u)' = \frac{u'}{u}$$

sẽ nhanh và dễ hiểu hơn công thức đạo hàm từng phần.

Tức là,

$$\left[ \ln(y) \right]' = \frac{y'}{y} = \frac{1}{y} y'$$

Trường Vũ 31.07.2018
thêm bình luận...

Câu trả lời của bạn

Chào mừng bạn đến với cộng đồng chia sẻ tri thức BanhoiTuidap.com, bạn có thể chia sẻ bất kỳ sự hiểu biết, nghiên cứu hoặc kinh nghiệm của mình về câu hỏi này với một số lưu ý:
  • Lịch sự, tế nhị.
  • Hạn chế ghi tắt, câu trả lời của bạn chỉ nên tập trung vào câu hỏi ở trên.
Câu trả lời của bạn sẽ được đăng ở chế độ cộng đồng, cho nên bạn sẽ không thể chỉnh sửa sau khi đăng, có thể đăng ký thành viên trên BanhoiTuidap.com khi bạn muốn theo dõi câu hỏi này hoặc chủ đề liên quan.
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)