Mặc dù đạo hàm của x mũ x có dạng gần giống với công thức đạo hàm $a^x$ hoặc $x^n$ nhưng chúng ta không thể sử dụng công thức đó để triển khai được, vì đơn giản hai biến $x$ và $x$ là hai đại lượng chưa biết. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khác dựa vào hàm Lôgarit cơ số $e$ hay $\ln()$, mục đích chúng ta đưa về dạng Lôgarit để khử mũ $x$ đi, khi về dạng hàm lôgarit cơ bản ta có thể giải được bài toán này.
Mình sẽ giải như sau, đặt:
$$y = f(x) = x^x \hspace{1cm} (1)$$
Đầu tiên, đặt Lôgarit hai bên vế của biểu thức (1) ta có: $$\ln(y) = \ln(x^x)$$
Ở vế phải, áp dụng tính chất của hàm Logarit, đưa mũ $x$ ra ngoài $\ln()$, ta được: $$\ln(y) = x\ln(x) \hspace{1cm} (2)$$
Áp dụng các công thức đạo hàm sau vào bài toán này đó là:
- Đạo hàm của hàm lôgarit: $f(x) = \ln(x) \Longrightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$
- Quy tắc đạo hàm của tích: $h(x) = f(x)g(x) \Longrightarrow h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
- Quy tắc đạo hàm chuỗi (từng phần): $h(x) = f(g(x)) \Longrightarrow h'(x) = f'(g(x))g'(x)$
Đạo hàm hai vế của phương trình (2),
$$\left[ \ln(y) \right]' = \left[ x\ln(x) \right]' $$
Vế trái sử dụng quy tắc đạo hàm của chuỗi, còn vế phải sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta được:
$$\left[ \ln(y) \right]' y' = x' \ln(x) + x \left[ \ln(x) \right]'$$
Áp dụng công thức đạo hàm lôgarit, ta được:
$$\frac{1}{y}y' = 1 \ln(x) + x\frac{1}{x}$$
Hay,
$$\frac{1}{y}y' = \ln(x) + 1$$
Suy ra,
$$y' = \frac{\ln(x) + 1}{\frac{1}{y}}$$
Chia phân số sẽ bằng nhân nghịch đảo, ta được:
$$y' = y(\ln(x) + 1)$$
Thay $y = x^x$ như đề bài đã cho, ta được kết quả cuối cùng:
$$y' = f'(x) = x^x(\ln(x) + 1)$$