1
Đạo hàm của x mũ x là gì?
1
Thành Lợi10 đã đăng:

Ta có hàm số:

$$f(x) = x^x$$

Bạn nào có thể tính đạo hàm của hàm số $f'(x)$?

thêm bình luận...
2
Ðình Tuấn20 đã đăng:

Mặc dù đạo hàm của x mũ x có dạng gần giống với công thức đạo hàm $a^x$ hoặc $x^n$ nhưng chúng ta không thể sử dụng công thức đó để triển khai được, vì đơn giản hai biến $x$ và $x$ là hai đại lượng chưa biết. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khác dựa vào hàm Lôgarit cơ số $e$ hay $\ln()$, mục đích chúng ta đưa về dạng Lôgarit để khử mũ $x$ đi, khi về dạng hàm lôgarit cơ bản ta có thể giải được bài toán này.

Mình sẽ giải như sau, đặt:

$$y = f(x) = x^x \hspace{1cm} (1)$$

Đầu tiên, đặt Lôgarit hai bên vế của biểu thức (1) ta có: $$\ln(y) = \ln(x^x)$$

Ở vế phải, áp dụng tính chất của hàm Logarit, đưa mũ $x$ ra ngoài $\ln()$, ta được: $$\ln(y) = x\ln(x) \hspace{1cm} (2)$$

Áp dụng các công thức đạo hàm sau vào bài toán này đó là:

  • Đạo hàm của hàm lôgarit: $f(x) = \ln(x) \Longrightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$
  • Quy tắc đạo hàm của tích: $h(x) = f(x)g(x) \Longrightarrow h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
  • Quy tắc đạo hàm chuỗi (từng phần): $h(x) = f(g(x)) \Longrightarrow h'(x) = f'(g(x))g'(x)$

Đạo hàm hai vế của phương trình (2),

$$\left[ \ln(y) \right]' = \left[ x\ln(x) \right]' $$

Vế trái sử dụng quy tắc đạo hàm của chuỗi, còn vế phải sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta được:

$$\left[ \ln(y) \right]' y' = x' \ln(x) + x \left[ \ln(x) \right]'$$

Áp dụng công thức đạo hàm lôgarit, ta được:

$$\frac{1}{y}y' = 1 \ln(x) + x\frac{1}{x}$$

Hay,

$$\frac{1}{y}y' = \ln(x) + 1$$

Suy ra,

$$y' = \frac{\ln(x) + 1}{\frac{1}{y}}$$

Chia phân số sẽ bằng nhân nghịch đảo, ta được:

$$y' = y(\ln(x) + 1)$$

Thay $y = x^x$ như đề bài đã cho, ta được kết quả cuối cùng:

$$y' = f'(x) = x^x(\ln(x) + 1)$$

đã bổ sung 5.8 năm trước bởi
Zootopia60
Không lòng vòng anh như Hải Phòng

Vì $y$ có dạng là một biểu thức với $y = f(x) = x^x$ cho nên ở vế trái nếu bạn sử dụng luôn công thức đạo hàm của $\ln (u)$ với,

$$\ln(u)' = \frac{u'}{u}$$

sẽ nhanh và dễ hiểu hơn công thức đạo hàm từng phần.

Tức là,

$$\left[ \ln(y) \right]' = \frac{y'}{y} = \frac{1}{y} y'$$

Trường Vũ 31.07.2018

Giải vậy cũng giải.

Cộng đồng 06.03.2021

m đòi giải sao nữa, giải vậy là hay dễ hiểu nhất rồi

Cộng đồng 27.07.2023

m đòi giải sao nữa, giải vậy là hay dễ hiểu nhất rồi

Cộng đồng 27.07.2023

m đòi giải sao nữa, giải vậy là hay dễ hiểu nhất rồi

Cộng đồng 27.07.2023

m đòi giải sao nữa, giải vậy là hay dễ hiểu nhất rồi

Cộng đồng 27.07.2023
thêm bình luận...
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)