Khi $x$ tiến tới $0$, thay $0$ vào biểu thức ta thấy:

• Ở tử số, $\ln(1 - 0) + \ln(1 + 0) = 0$.
• Ở mẫu số, $0^2 = 0$.

Tức là bài toán giới hạn trên có dạng $\frac{0}{0}$, do đó, ta có thể áp dụng quy tắc L'Hospital để giải bài toán này, ta có:

$$\lim_{x \to 0} \frac{[\ln(1-x) + \ln(1+x)]'}{\left( x^2 \right)'} \hspace{1cm}(1)$$

Đi tính đạo hàm ở tử số và mẫu số:

• Ở tử số, đạo hàm của $\ln(1-x) + \ln(1+x)$ bằng $\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{-x + 1} \right)$.
• Ở mẫu số, đạo hàm của $x^2$ bằng $2x$.

Thế vào $(1)$, ta có:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{-x + 1} \right)}{2x}$$

Xem xét tương tự như ban đầu, ta thấy vẫn còn dạng $\frac{0}{0}$, tiếp tục áp dụng quy tắc L'Hospital một lần nữa, ta có:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{-x + 1} \right)'}{(2x)'} \hspace{1cm} (2)$$

Tiếp tục đi tính đạo hàm ở tử số và mẫu số:

• Ở tử, đạo hàm của $\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{-x + 1} \right)$ bằng $\left( -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(-x + 1)^2} \right)$.
• Ở mẫu, đạo hàm của $2x$ bằng $2$.

Thế kết quả vào $(2)$, ta có:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left( -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(-x + 1)^2} \right)}{2}$$

Ok, giới hạn đã trở thành một giới hạn có dạng xác định, chúng ta có thể thay trực tiếp $x = 0$ vào và kết quả cuối cùng là:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left( -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(-x + 1)^2} \right)}{2} = \frac{\left( -\frac{1}{(0 + 1)^2} - \frac{1}{(-0 + 1)^2} \right)}{2} = -1$$

Hope it help.