$\pi$ không bao giờ bằng $180^\circ$, $\pi$ là một số thực có giá trị xấp xỉ bằng $3.14$, nó chỉ là một số thực, tương tự như các số thực khác ví dụ như $\sqrt{7}$, số $e$, $0.5$, ...v.v.

Một sự nhầm lẫn mà nó làm cho chúng ta rất khó hiểu tại sao $\pi$ bằng $180^\circ$ đó là chúng ta quên nói đơn vị của $\pi$ khi đem nó ra đổi thành một đơn vị khác, mà cụ thể ở đây là sự chuyển đổi đơn vị đo góc giữa rađian (ký hiệu rad) và độ (ký hiệu $^\circ$).

Chính xác hơn sẽ là,

$$\pi \text{ rad} = 180^\circ$$

Cũng giống như $1$ và $10$ là hai số tự nhiên hoàn toàn khác nhau nhưng khi thêm đơn vị tính khoảng cách vào, chúng ta có $1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}$, hoặc $1$ và $33.8$ là hai số hoàn toàn khác nhau nhưng khi thêm đơn vị tính nhiệt độ vào, chúng ta có $1^\circ \text{C} = 33.8^\circ \text{F}$, ...v.v.

Cho nên câu hỏi của bạn đúng hơn nên là tại sao $\pi \text{ rad}$ bằng $180^\circ$?

Để hiểu rõ bản chất sâu xa của chúng, bạn cần phải biết đơn vị đo góc $\text{rad}$ và độ được hình thành như thế nào và mối quan hệ giữa chúng, nhưng ở đây, để đơn giản hóa vấn đề đi, chúng ta chấp nhận từ người xưa rằng một vòng tròn sẽ có hệ số góc là $360^\circ$, nửa vòng tròn sẽ có hệ số góc là $180^\circ$.

Độ là đơn vị đo góc không mô tả đúng được bản chất của hình tròn, nó chỉ là một con số được áp đặt sẵn, ví dụ một vòng tròn thì có $360^\circ$ mà không cần biết tại sao, sau này người ta dựa vào chính bản chất của hình tròn để đưa ra đơn vị đo góc mới gọi là $\text{radian}$.

Nói một cách khái quát, đơn vị $\text{radian}$ dựa vào tỉ lệ 1:1 giữa bán kính hình tròn và cung tròn (đường cong) đối diện với góc tạo bởi để xác định, bạn có thể nhìn vào hình ảnh bên dưới để rõ bản chất của độ đo $\text{radian}$.

$1 \text{ rad}$ sẽ xấp xỉ $57.296 ^\circ$, để hoàn thành một nửa cung tròn, chúng ta cần tới $3 \text{ rad}$ cộng với một khoảng xấp xỉ $0.1415$ nữa, và thật tuyệt vời đó chính là giá trị của số $\pi$, thay vì ghi $3.1415 \text{ rad} = 180^\circ$, ta có thể dùng số $\pi$ để thay thế, đó chính là lý do tại sao $\pi \text{ rad}$ bằng $180^\circ$.