Giả sử bạn đã biết khái niệm giới hạn, sử dụng khái niệm giới hạn cũng có thể chứng minh được $e^x$ không thể bằng 0, đặt $y = e^x$, với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$, hàm số của $e^x$ có dạng là một đồ thị đi lên và được xác định trong miền giá trị $x$ chạy từ $- \infty$ đến $+ \infty$ (hay $- \infty < x < + \infty$).

Theo bản chất của giới hạn, ta dễ dàng suy ra được.

$$\lim_{x \to -\infty} \left(e^x \right) < e^x < \lim_{x \to +\infty} \left( e^x \right) \hspace{1cm} (1)$$

Công thức trên được hiểu là hàm số $e^x$ sẽ luôn luôn lớn hơn giới hạn của $e^x$ khi $x$ tiến tới $- \infty$ và ngược lại, sẽ luôn luôn nhỏ hơn giới hạn của $e^x$ khi $x$ tiến tới $+ \infty$ (chỉ là một trong các bản chất của giới hạn, không có vấn đề gì khó hiểu nếu bạn đã biết qua khái niệm giới hạn).

Đi giải hai giới hạn này, ta có,

• $\lim_{x \to - \infty} \left( e^x \right) = \left(e^{- \infty} \right) = 0$
• $\lim_{x \to + \infty} \left( e^x \right) = \left( e^{+ \infty} \right) = + \infty$

Biểu thức $(1)$ được thay bằng,

$$0 < e^x < + \infty$$

Điều này có nghĩa rằng $e^x$ luôn luôn lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $+ \infty$. Nhìn vào hàm số trên bạn sẽ thấy rằng giá trị $x$ càng âm và càng về $- \infty$ thì $e^x$ càng gần $0$ nhưng không bao giờ bằng $0$ được.

Hope it help...