Trong tự nhiên có những thứ vượt quá sức tưởng tượng của con người ví dụ như vũ trụ chẳng hạn. Toán học là công cụ con người dùng để mô phỏng thế giới xung quanh, do đó nó cũng chịu ảnh hưởng chung bởi tự nhiên. Bởi vì tồn tại những bài toán chúng ta không thể giải được hoặc không thể giải được bằng cách trực tiếp nhưng chúng ta biết đáp án gần đúng của nó.

Ví dụ:

• $1$ chia cho $0$, chúng ta không thể giải được bài toán này, $\frac{1}{0}$ không được xác định bởi vì số $0$ trong biểu thức toán học là không có, mà đã không có thì làm sao mà chia.
• $1$ chia cho $\infty$ (hay 1 chia cho vô cùng), khái niệm vô cùng cũng nằm ngoài sức tưởng tượng con người, nếu chia 1 cho một số không biết, bạn có dám khẳng định chính xác kết quả của biểu thức này là gì không?

Cho nên khái niệm giới hạn được đưa ra để giải quyết điều này. Ý tưởng cơ bản nhất của giới hạn là "thay vì tìm đáp án chính xác trong tuyệt vọng và sẽ không bao giờ tìm ra, chúng ta có thể tìm đáp án gần đúng của nó".

VÍ DỤ 1:

$$f(x) = \frac 1 x$$

Tính giá trị biểu thức trên khi $x = \infty$?

Bạn có thể ghi ra được một số vô cùng không? Chắc chắn là không, vậy làm sao chúng ta có thể tính biểu thức này đây? Mặc dù chúng ta không biết số vô cùng là bao nhiêu nhưng chúng ta biết nếu chia cho một số càng lớn kết quả sẽ càng bé. Vậy hãy thử xem

$$x = 1000 \rightarrow f(x) = 0.001$$ $$x = 10000 \rightarrow f(x) = 0.0001$$ $$x = 1000000 \rightarrow f(x) = 0.000001$$ $$x = 1000000000 \rightarrow f(x) = 0.000000001$$

Bạn có thể thấy, nếu bạn chia cho số càng ngày càng lớn thì kết quả sẽ càng ngày càng tiến về 0. Mặc dù bạn biết nhưng bạn có dám khẳng định kết quả là số 0 hay không? (Nếu bạn khẳng định thật thì là sai đấy nhé). Nhưng bạn có thể hiểu rằng nếu x tiến tới vô cùng thì kết quả biểu thức sẽ tiến về 0, chúng ta chấp nhận kết quả gần đúng này và dùng kí hiệu $\lim$ (limit - giới hạn) chúng ta có thể ghi như sau:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

VÍ DỤ 2:

$$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \hspace{1cm}(2)$$

Tính giá trị biểu thức khi $x = 1$?

Thay $x = 1$ vào biểu thức $(2)$, ta được phân số $\frac{2}{0}$? Nếu không có giới hạn, chúng ta bế tắc tại đây, chúng ta biết rằng nếu $x$ tiến gần tới $1$ thì kết quả $f(x)$ sẽ tiến gần tới $2$, hãy thử thay $x$ bằng các giá trị khác nhau vào biểu thức xem,

$$x = 0.9 \rightarrow f(x) = 1.9$$ $$x = 0.999 \rightarrow f(x) = 1.999$$ $$x = 0.999999 \rightarrow f(x) = 1.999999$$

Do đó, kết quả có thể ghi như sau:

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

Đến đây chắc có lẽ bạn đã hiểu, ngoài ra còn có các khái niệm giới hạn trái - giới hạn phải nhưng mình nghĩ nên dừng lại tại đây. Have fun ^^..