Câu hỏi rất hay, trước tiên, hàm số bản chất của nó là một ánh xạ thể hiện mối quan hệ giữa giá trị đầu vào và giá trị đầu ra, tức là hàm số nhận vào một input nào đó và trả ra một output tương ứng tùy thuộc vào cách hàm số đó được định nghĩa như thế nào.

Ứng dụng đầu tiên của hàm số phải kể đến đó là chúng được nhúng trong các thiết bị điện tử để điều khiển sự hoạt động của các thiết bị đó, tất cả những thiết bị điện tử bạn đang sử dụng hằng ngày như tivi, laptop, điện thoại di động, máy giặt, tủ lạnh, ... hoạt động được đều nhờ vào các chương trình phần mềm, chương trình phần mềm là một dãy logic của các thuật toán, mà bản thân các thuật toán chính là các hàm số, chúng nhận vào dữ liệu hoặc lệnh từ người dùng và trả ra kết quả tương ứng.

Ví dụ để bạn chụp được bức ảnh từ chiếc điện thoại của mình chúng ta cần rất nhiều hàm số, đại khái như hàm số ở bộ cảm biến ánh sáng nhận vào tín hiệu là các bước sóng ánh sáng, trả ra hình ảnh đã được số hóa, tiếp tục một hàm số khác nhận vào hình ảnh đã được số hóa đó và lưu nó vào bộ nhớ. Giả sử bạn muốn sửa hình ảnh đó cho đẹp hơn, tiếp tục một hàm số khác nhận vào hình ảnh ban đầu, thực hiện chỉnh sửa theo ý bạn (trong lúc chỉnh sửa nó lại gọi nhiều hàm số nữa cùng tham gia) và trả ra ảnh đã chỉnh sửa. Mỗi hàm số trong các thiết bị điện tử đều thực hiện một công việc rất rất nhỏ và nói chung, trong các thiết bị điện tử thì hàm số everywhere.

Nếu điện thoại của bạn những thứ nghe có vẻ rất là trí tuệ nhân tạo như công nghệ nhận diện khuôn mặt, công nghệ nhận diện giọng nói, nhận diện dấu vân tay,... thì sẽ làm sao khi chúng ta không có các hàm số như hàm số Sigmoid, hàm số Tan, hàm số ReLU, hàm Softmax,...v.v.

Trong cuộc sống hằng ngày, hàm số của đối tượng nào đó là mối quan hệ giữa các trạng thái tác động lên đối tượng đó, ví dụ như kết quả học tập của bạn phụ thuộc thời gian bạn đầu tư cho việc học, quãng được bạn chạy được trong một thời gian phụ thuộc vào tốc độ chạy của bạn, sức ép của nước tác động lên cơ thể phụ thuộc vào độ sâu khi bạn lặn.

Trong tài chính ngân hàng, chúng ta có bài toán tiết kiệm, hàm số nhận vào số tiền mà bạn định sẽ định gửi tiết kiệm, tính theo công thức lãi suất, trả về kết quả là số tiền lãi hàng tháng bạn sẽ có.