Theo công thức của hàm số lượng giác, ta có,

$$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Do đó, đạo hàm của $\cot x$ sẽ bằng,

$$y' = (\cot x)' = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)' \hspace{1cm} (1)$$

Áp dụng công thức đạo hàm của thương,

$$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$

$$(1) \Leftrightarrow \frac{(\cos x)' \sin x - \cos x (\sin x)'}{\sin^2 x}$$

Áp dụng công thức đạo hàm của $\sin$ và $\cos$,

$$(\sin x)' = \cos x$$ $$(\cos x)' = -\sin x$$

Ta có,

$$ \begin{align} (1) & \Leftrightarrow \frac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} \\ & \Leftrightarrow \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & \Leftrightarrow \frac{- \left( \sin^2 x + \cos^2 x \right)}{\sin^2 x} \\ & \Leftrightarrow \frac{-1}{\sin^2 x} \\ & \Leftrightarrow -\frac{1}{\sin^2 x} \end{align} $$

Kết quả được suy ra từ công thức lượng giác,

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Áp dụng công thức,

$$\cot x = \frac{1}{\tan x}$$

Tính đạo hàm của $\cot x$ tương đương tính đạo hàm của $\frac{1}{\tan x}$ như sau,

$$ \begin{align} y' & = \left [ \frac{1}{\tan x} \right]' \\ & = \frac{1' \cdot \tan x - 1 \cdot (\tan x)'}{\tan^2 x} \\ & = \frac{ \left( \frac{-1}{\cos^2 x} \right) }{ \tan^2 x} \\ & = \frac{ \left( \frac{-1}{\cos^2 x} \right) }{ \left( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \right) } \\ & = \frac{-1}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = \frac{-1}{\sin^2 x} \end{align} $$