1
Giải thích ý nghĩa công thức định nghĩa giới hạn lim theo $\varepsilon$ và $\delta$?
2
Quốc Khánh120 đã đăng:

Giới hạn lim được định nghĩa theo $\varepsilon$ và $\delta$ có công thức:

$$lim_{x \to c} f(x) = L \hspace{1cm} (1)$$

$$(1) \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D, 0 < | x - c | < \delta \Rightarrow | f(x) - L | < \varepsilon)$$

Bạn nào có thể giải thích hàm ý các ký hiệu trong công thức định nghĩa giới hạn lim theo $\varepsilon$ và $\delta$ được không ạ?

thêm bình luận...
2
HuynhD20 đã đăng:

Công thức định nghĩa giới hạn theo $\varepsilon$ và $\delta$ nhìn có vẻ kinh hoàng nhưng thật ra nó mô tả rất trực quan và chính xác khái niệm giới hạn.

Nhắc lại một chút về khái niệm giới hạn rất đơn giản như sau,

Hàm số $f(x)$ sẽ tiến tới một giới hạn $L$ khi $x$ tiến tới gần $c$:

$$f(x) \to L \text{ khi } x \to c$$

Hay viết theo một cách khác:

$$\lim_{x \to c} f(x) = L$$

Khi nói tới tiến lại gần nhau, chúng ta có thể hiểu khoảng cách giữa chúng là rất nhỏ đúng không nào? Mà khoảng cách thì được tính bằng hiệu của hai số sau đó lấy giá trị tuyệt đối.

Ví dụ:

$a = 5$, $b = 7$. Khoảng cách từ $a$ tới $b$ là: $|a - b| = 2$.

Tại sao chúng ta cần dấu giá trị tuyệt đối, bởi vì đã gọi là khoảng cách thì không thể là một giá trị âm được. Nếu nói khoảng cách từ mắt trái tới mắt phải của bạn là -2 cm thì nghe có vẻ vô lí đúng không?

Cho nên, chúng ta có thể phân tích định nghĩa trên như sau,

$f(x)$ tiến tới gần giới hạn $L$, có nghĩa là: $|f(x) - L|$ là khoảng cách nằm trong một giá trị rất nhỏ.

$x$ tiến tới gần $c$, có nghĩa là $|x - c|$ là khoảng cách nằm trong một giá trị rất nhỏ.

Giá trị rất nhỏ ở đây chỉ là cách chúng ta nói theo ngôn ngữ tự nhiên, còn trong ngôn ngữ toán học cần phải chặt chẽ hơn,

Ta gọi giá trị rất nhỏ của $|f(x) - L|$ là $\varepsilon$

Và giá trị rất nhỏ của $|x - c|$ là $\delta$

Khi nói tới nằm trong một giá trị rất nhỏ có nghĩa là không bao giờ chạm tới biên của giá trị đó (tức là không bao giờ bằng giá trị đó được), cho nên, cần phải chính xác hơn nữa,

$$|f(x) - L| < \varepsilon$$

$$|x - c| < \delta$$

Hơn nữa, theo bản chất giới hạn là gì? Tiến tới gần một giá trị nào đó nhưng không bằng giá trị đó đúng không nào, cho nên $x$ tiến tới $c$ nhưng không thể bằng $c$ được, mà không bằng $c$ thì khoảng cách sẽ không bao giờ bằng 0, ta có,

$$0 < |x - c| < \delta$$

Và đồng thời,

$$\varepsilon > 0$$

$$\delta > 0$$

Từ đó ta có thể định nghĩa giới hạn theo $\varepsilon$ và $\delta$ như sau,

Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\delta > 0$ sao cho với mọi giá trị $x$ nằm trong miền $D$, $|f(x) - L| < \varepsilon$ khi $0 < |x - c| < \delta$.

Định nghĩa mình vừa nói nó vẫn đang mô tả chính xác rằng $f(x)$ có giới hạn tại $L$ khi $x$ tiến tới $c$. Còn miền giá trị $D$ ở đây là những giá trị $x$ có thể có khi nằm trong khoảng từ $c - \delta$ đến $c + \delta$, hay $D = (c - \delta, c + \delta)$,

Ý nghĩa giới hạn lim

Một vài ký hiệu toán học thay vì lời nói, bạn sẽ có được công thức định nghĩa giới hạn như ban đầu.

$$\lim_{x \to c} f(x) = L \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D, 0 < |x - c | < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon)$$

đã bổ sung 5.6 năm trước bởi
Zootopia60
Không lòng vòng anh như Hải Phòng

Rất cảm ơn câu trả lời của bạn.

Quốc Khánh 03.07.2018

Mình thắc mắc chỗ "$x$ tiến tới $c$ nhưng không thể bằng $c$ được, mà không bằng $c$ thì khoảng cách sẽ không bao giờ bằng $0$", tại sao lại không bằng $0$ vậy bạn?

Hữu Bảo 13.09.2018

Ok, ví dụ ta có hai số $a$ và $b$, $a - b = 0$ khi và chỉ khi $a = b$ đúng không nào?

Ví dụ $a =2, b = 2$, ta có $a - b = 2 - 2 = 0$

Còn trường hợp $a \neq b$, kết quả của phép trừ chỉ có thể là một số khác 0.

Ví dụ $a = 3, b = 2$, ta có $a - b = 3 - 2 = 1$

Quay trở lại chỗ bạn thắc mắc, mình đã nói theo bản chất của giới hạn, $x$ tiến tới nhưng không bằng $c$, tức là $x \neq c$, mà hai số khác nhau trừ kết quả sẽ không bao giờ bằng $0$.

HuynhD 13.09.2018

Vậy tại sao biểu thức $|x - c|$ không phải là nhỏ hơn $0$ ạ?

Hữu Bảo 13.09.2018

Mình nghĩ bạn nên đọc một cách chậm rãi từ từ để có thể hiểu được, mình đã giải thích rất rõ biểu thức $|x - c|$ đang ám chỉ cho khoảng cách giữa $x$ và $c$, mà khoảng cách thì không có giá trị âm.

HuynhD 13.09.2018

Tại sao bạn có thể ghi,

Và đồng thời, $$\varepsilon > 0$$ $$\delta > 0$$

Cơ sở nào để bạn ghi như vậy?

user2551 13.09.2018

Cơ sở đã rất rõ ràng rồi đấy chứ,

  • $\varepsilon > 0$, bởi vì $\varepsilon$ đang đại diện cho một giá trị rất nhỏ nhưng đồng thời giá trị này lớn hơn khoảng cách từ $f(x)$ tới $L$, khoảng cách là một giá trị không âm, mà giá trị $\varepsilon$ lớn hơn khoảng cách nữa, thì chắc chắn $\varepsilon$ sẽ lớn hơn 0.

  • $\delta > 0$, bởi vì $\delta$ cũng đang đại diện cho một giá trị rất nhỏ nhưng đồng thời giá trị này lớn hơn khoảng cách từ $x$ tới $c$.

Bạn từ từ đọc lại và suy ngẫm một chút sẽ thông não mấy chỗ này thôi ạ.

HuynhD 13.09.2018

chúc ad mạnh khoẻ để đóng góp kiến thức. HaNoi 23/1/2024

Cộng đồng 23.01.2024
thêm bình luận...
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)