Công thức định nghĩa giới hạn theo $\varepsilon$ và $\delta$ nhìn có vẻ kinh hoàng nhưng thật ra nó mô tả rất trực quan và chính xác khái niệm giới hạn.
Nhắc lại một chút về khái niệm giới hạn rất đơn giản như sau,
Hàm số $f(x)$ sẽ tiến tới một giới hạn $L$ khi $x$ tiến tới gần $c$:
$$f(x) \to L \text{ khi } x \to c$$
Hay viết theo một cách khác:
$$\lim_{x \to c} f(x) = L$$
Khi nói tới tiến lại gần nhau, chúng ta có thể hiểu khoảng cách giữa chúng là rất nhỏ đúng không nào? Mà khoảng cách thì được tính bằng hiệu của hai số sau đó lấy giá trị tuyệt đối.
Ví dụ:
$a = 5$, $b = 7$. Khoảng cách từ $a$ tới $b$ là: $|a - b| = 2$.
Tại sao chúng ta cần dấu giá trị tuyệt đối, bởi vì đã gọi là khoảng cách thì không thể là một giá trị âm được. Nếu nói khoảng cách từ mắt trái tới mắt phải của bạn là -2 cm thì nghe có vẻ vô lí đúng không?
Cho nên, chúng ta có thể phân tích định nghĩa trên như sau,
$f(x)$ tiến tới gần giới hạn $L$, có nghĩa là: $|f(x) - L|$ là khoảng cách nằm trong một giá trị rất nhỏ.
$x$ tiến tới gần $c$, có nghĩa là $|x - c|$ là khoảng cách nằm trong một giá trị rất nhỏ.
Giá trị rất nhỏ ở đây chỉ là cách chúng ta nói theo ngôn ngữ tự nhiên, còn trong ngôn ngữ toán học cần phải chặt chẽ hơn,
Ta gọi giá trị rất nhỏ của $|f(x) - L|$ là $\varepsilon$
Và giá trị rất nhỏ của $|x - c|$ là $\delta$
Khi nói tới nằm trong một giá trị rất nhỏ có nghĩa là không bao giờ chạm tới biên của giá trị đó (tức là không bao giờ bằng giá trị đó được), cho nên, cần phải chính xác hơn nữa,
$$|f(x) - L| < \varepsilon$$
$$|x - c| < \delta$$
Hơn nữa, theo bản chất giới hạn là gì? Tiến tới gần một giá trị nào đó nhưng không bằng giá trị đó đúng không nào, cho nên $x$ tiến tới $c$ nhưng không thể bằng $c$ được, mà không bằng $c$ thì khoảng cách sẽ không bao giờ bằng 0, ta có,
$$0 < |x - c| < \delta$$
Và đồng thời,
$$\varepsilon > 0$$
$$\delta > 0$$
Từ đó ta có thể định nghĩa giới hạn theo $\varepsilon$ và $\delta$ như sau,
Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\delta > 0$ sao cho với mọi giá trị $x$ nằm trong miền $D$, $|f(x) - L| < \varepsilon$ khi $0 < |x - c| < \delta$.
Định nghĩa mình vừa nói nó vẫn đang mô tả chính xác rằng $f(x)$ có giới hạn tại $L$ khi $x$ tiến tới $c$. Còn miền giá trị $D$ ở đây là những giá trị $x$ có thể có khi nằm trong khoảng từ $c - \delta$ đến $c + \delta$, hay $D = (c - \delta, c + \delta)$,
Một vài ký hiệu toán học thay vì lời nói, bạn sẽ có được công thức định nghĩa giới hạn như ban đầu.
$$\lim_{x \to c} f(x) = L \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0,
\exists \delta > 0, \forall x \in D, 0 < |x - c | < \delta \Rightarrow
|f(x) - L| < \varepsilon)$$