Chính xác hơn là khi tính tích phân bất định (tích phân không có giới hạn trên và dưới) thì người ta mới cộng thêm giá trị hằng số C nha bạn. Và một điều nữa, nếu chúng ta xét mối quan hệ giữa tích phân và đạo hàm thì chúng đối nghịch nhau, tức là nếu cho một hàm số bạn sẽ tìm được đạo hàm của hàm số đó và ngược lại, từ kết quả đạo hàm của hàm số đó bạn có thể khôi phục về hàm số ban đầu sử dụng tích phân.

Ý tưởng là như trên, còn việc tại sao cộng thêm hằng số C mình nghĩ đưa ra một ví dụ minh họa sẽ dễ hiểu hơn.

Giả sử chúng ta có 3 hàm số sau:

$$ \begin{align} & y1 = 5x^2 + 10 \\ & y2 = 5x^2 + 26 \pi \\ & y3 = 5x^2 + 1000 \end{align} $$

3 hàm số trên có dạng $y = ax + C$, với C là hằng số, mà đạo hàm của hằng số thì bằng 0, cho nên, mặc dù 3 hàm số trên khác nhau nhưng kết quả sau khi tính đạo hàm là giống nhau,

$$ \begin{align} & y1' = 10x \\ & y2' = 10x \\ & y3' = 10x \end{align} $$

Bây giờ, giả sử người ta cho bạn hàm số $g = 10x$, bảo bạn tính tích phân của hàm số này, mà tích phân như mình đã nói lúc đầu thực chất là tính ngược lại hàm số ban đầu từ đạo hàm của nó đúng không nào?

$$\int 10x = 10 \int x dx = 10 \frac{x^2}{2} = 5x^2 + C$$

Mục đích dùng hằng số C ở đây để bao quát tất cả các trường hợp, cho dù hằng số C có là $10$, $26 \pi$, $1000$, ....v.v. đi nữa thì kết quả đạo hàm vẫn là một hàm số duy nhất (ở đây là $10x$).