Mình nghĩ sẽ hấp dẫn hơn khi bắt đầu bằng câu hỏi tại sao chúng ta lại sử dụng ma trận trong đại số, khi học toán bạn sẽ học từ đơn giản đến phức tạp và cụ thể ở câu hỏi này là về phương trình.

Giả sử chúng ta có phương trình 1 ẩn $x$ như sau,

$$x - 2 = 3$$

Chúng ta có thể giải dễ dàng bằng cách chuyển vế $x = 3 + 2 = 5$

Khó hơn một chút, chúng ta sẽ học hệ phương trình hai ẩn $x$ và $y$ ví dụ như,

$$ \begin{cases} x - y = -2 \\ 3x + 2y = -6 \end{cases} $$

Bạn vẫn có thể giải dễ dàng bằng cách sử dụng phương pháp khử biến hoặc phương pháp thay thế, ta có đáp cuối cùng $x = -2$ và $y = 0$.

Khó thêm một chút nữa, chúng ta được học thêm hệ phương trình ba ẩn $x$, $y$ và $z$ ví dụ như,

$$ \begin{cases} 2x - y + 3z = 6 \\ -4x + 2y + 4z = 3 \\ -6x -4y -2z = 12 \end{cases} $$

Sử dụng phương pháp cũ nhưng hơi dài dòng một tí, bạn vẫn có thể giải ra đáp án $x = \frac{-9}{14}$, $y = \frac{-39}{14}$ và $z = \frac{3}{2}$,

Và thực tế, chúng ta chỉ học đến đây thôi, nhưng thế giới bên ngoài không đơn giản như vậy, bạn sẽ phải giải quyết một hệ phương trình nhiều hơn 3 ẩn ví dụ như 4 ẩn, 20 ẩn, có khi lến đến cả ngàn ẩn, ...v.v. Ghi một hệ phương trình 10 ẩn thôi là đã được trang giấy và bạn bắt đầu cảm thấy đuối rồi.

(Mình là dân khoa học máy tính cho nên những bài toán lên đến cả trăm ngàn ẩn là chuyện bình thường, và tất nhiên khi càng nhiều ẩn bạn nên sử dụng chương trình máy tính để giải mặc dù bạn vẫn có thể giải bằng tay nếu bạn muốn.)

Lúc này, người ta không thể sử dụng các chữ cái $x$, $y$, $z$ để biểu diễn hệ phương trình có cả trăm ngàn ẩn kia nữa, thay vào đó người ta nghĩ ra một thứ đơn giản hơn để dễ dàng biểu diễn và tính các hệ phương trình có nhiều hơn 3 ẩn, một khái niệm mới gọi là ma trận (matrix) ra đời.

Vậy ma trận là gì?

Đúng như tên gọi của nó, ma trận là một tập hợp các đối tượng được sắp xếp theo dòng và theo cột hình chữ nhật. Đối tượng ở đây có thể là số học, ký hiệu toán học hoặc biểu thức toán học.

Ví dụ, hệ phương trình 3 ẩn trên có thể được biểu diễn lại bằng ma trận như sau,

$$ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 & 6 \\ -4 & 2 & -4 & 3 \\ -6 & -4 & -2 & 12 \end{matrix} $$

Một số tính chất cơ bản của ma trận bao gồm: dòng, cột và chỉ số phần tử.

Thứ nhất là dòng và cột của ma trận.

• Số dòng của ma trận kí hiệu là $m$
• Số cột của ma trận kí hiệu là $n$

Vậy ở ví dụ trên, ta có số dòng ma trận $m = 3$ và số cột ma trận $n = 4$, người ta thường dùng chữ cái in hoa để kí hiệu ma trận, ví dụ ma trận $A$ có số dòng là 3 có số cột là 4 có thể được kí hiệu là $A^{[3, 4]}$.

Thứ hai là chỉ số phần tử của ma trận.

Chỉ số phần tử được đánh số thứ tự từ trái sang phải theo dòng, và từ trên xuống dưới theo cột với kí hiệu lần lượt là $i$ và $j$, kí hiệu $A_{i, j}$ có ý nghĩa là phần tử nằm ở dòng thứ $i$ và cột thứ $j$ của ma trận $A$, nếu lấy ví dụ ở trên ta có,

• $A_{0, 0} = 2$
• $A_{1, 0} = -4$

Về phần các phép tính trên ma trận thì là một chân trời mênh mông khác mình xin bỏ qua.

Ý nghĩa của ma trận?

Ma trận được sinh ra để:

• Dễ dàng biểu diễn và tính toán hệ phương trình nhiều biến (bởi vì thực tế bạn sẽ không gặp những bài toán đơn giản chỉ bao gồm 3 ẩn trở xuống như vậy).
• Biễu diễn biểu thức toán dưới dạng ma trận được dễ dàng giải quyết bởi máy tính, do đó, ma trận được ứng dụng rất rất nhiều trong máy tính mà nếu bạn theo chuyên ngành khoa học máy tính, bạn sẽ phải làm việc rất rất nhiều với các phép tính trên ma trận.

Mình lấy một số ví dụ gần gũi nói lên ứng dụng rất lớn của ma trận trong thực tế mà các bạn không để ý như:

• Màn hình điện thoại của bạn là một ma trận các điểm ảnh, để giúp hiển thị chữ viết, hình ảnh khi các bạn nhắn tin chụp hình, chúng ta cần phải có bộ xử lý đồ họa, mà phép toán trên bộ xử lý đồ họa của điện thoại hay máy tính tất cả đều dựa trên phép tính ma trận.
• Các dòng game đồ họa 3D cao cấp các bạn chơi đều phải dựa trên các phép toán cơ bản nhất của ma trận như phép quay, phép chiếu, ...v.v.

Đa số ứng dụng của ma trận đều nằm ngầm bên dưới của các hệ thống nên đa số các bạn không biết học ma trận để làm gì nên bỏ qua, nhưng thật ra kiến thức ma trận rất thiết thực và nếu có cơ hội bạn nên học một cách kĩ càng hơn nhé.