Đối với các bài toán so sánh căn thức thì cách tốt nhất là khử căn thức bằng cách đưa về dạng bình phương. Cho hai số $a$ và $b$, chúng ta đều biết rằng nếu $a > b$ thì bình phương của $a$ tất yếu cũng sẽ lớn hơn bình phương của $b$.

$$a > b \Rightarrow a^2 > b^2$$

Tương tự với các trường hợp $a < b$ hoặc $a = b$.

Mọi chuyện sẽ dễ dàng nếu hai vế bên trái và bên phải chỉ chứa 1 căn thức, đằng này vế bên phải lại là một biểu thức $a - b$, khi bình phương lên sẽ trở thành $(a - b)^2$ vẫn không thể khử được căn thức, mình nghĩ ra một cách không chính quy cho lắm nhưng có thể giải quyết được bài toán của bạn, đó là thay vì so sánh trực tiếp, ta có thể so sánh gián tiếp qua số $0$.

Nhận thấy vế bên trái có dấu trừ trước căn, mặc cho biểu thức bên trong căn có kết quả là bao nhiêu, nó sẽ là một số âm,

$$-\sqrt{54} < 0$$

Còn vế bên phải ta có thể dùng heuristic để xác định dấu của nó như sau,

$$ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3}$$

Biết rằng,

$$9 = 3 \times 3$$

Mà $3$ luôn luôn lớn hơn căn thức của chính nó,

$$ 3 > \sqrt{3} $$

Cho nên,

$$9 > 3 \sqrt{3}$$

Suy ra rằng, $ 9 - \sqrt{27} $ luôn luôn dương, hay,

$$9 - \sqrt{27} = 9 - 3 \sqrt{3} > 0$$

Với vế trái là một số âm, vế phải là một kết quả dương, không cần dùng máy tính ta cũng có thể xác định được $ -\sqrt{54} < 9 - \sqrt{27}$.

Cao nhân nào có ý kiến hay hơn xin chỉ giáo.