Gọi chiều dài quãng đường AB là $S$.

Thời gian cần đi hết quãng đường là $t$.

Vận tốc trung bình là $ v_{tb} $.

Ta có công thức tính vận tốc trung bình:

$$ v_{tb} = \frac{S}{t} = \frac{S_1 + S_2 + ... + S_n}{t_1 + t_2 + ... + t_n} $$

Với $n$ là số đoạn đường của cả quãng đường.

Xét theo đề bài ta có :

$$ S_1 = S_2 = \frac{S}{2} $$ $$ t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{{2}\times{v_1}} = \frac{S}{{2}\times{12}} = \frac{S}{24} $$ $$ t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S}{{2}\times{v_2}} = \frac{S}{{2}\times{8}} = \frac{S}{16} $$

Thay $ {t_1} $ và $ {t_2} $ vào công thức $ v_{tb} $ ta được :

$$v_{tb} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2} = \frac{{\frac{S}{2} + \frac{S}{2}}}{\frac{S}{24}+\frac{S}{16}} = \frac{S}{\frac{5S}{48}} = \frac{48}{5} = 9,6 \text{ km/h} $$

Đáp án : $v_{tb} = 9,6 \text{ km/h}$ em nhé.

Bài toán này có hơi thú vị và cũng có phần đánh đố học sinh nhỉ, nhưng anh thấy bài toán này cũng rất là hay bởi nó kiểm tra xem học sinh đã thật sự hiểu vận tốc trung bình là gì chưa? Mới đầu đọc bài toán anh cũng bị nhầm lẫn rằng chỉ cần lấy hai giá trị vận tốc cộng lại rồi chia 2 sẽ được vận tốc trung bình, nếu nhóc cũng nghĩ như anh thì chúng ta đã sai lầm :P.

Tại sao sai? Bởi vì chúng ta đang nhầm lẫn giữa giá trị trung bình và vận tốc trung bình, trong khi giá trị trung bình nó là một con số cụ thể mô tả mặt bằng chung giữa các số thì vận tốc trung bình là một tỉ lệ giữa chiều dài quãng đường và thời gian đi được, tức là:

$$v_{tb} = \frac{S}{t}$$

Nếu nhóc cảm thấy anh nói không đúng và muốn một ví dụ cụ thể chứng minh rằng tại sao nó lại sai thì hãy mạnh dạn để lại bình luận phản biện anh sẽ giúp nhóc làm sáng tỏ :3.

Quay trở lại bài toán của nhóc, tạm thời chưa đọc đề bài nhưng dựa vào câu hỏi tính vận tốc trung bình của xe trên cả đoạn đường AB thì ta biết đó là gì? Nó là tỉ lệ giữa chiều dài của cả đoạn đường AB và thời gian đi hết cả đoạn đường AB đúng không nào, mô tả nó bằng công thức vận tốc trung bình mà ta đã biết,

$$v_{tb} = \frac{S_{\text{AB}}}{t_{\text{AB}}} \hspace{1cm} (1)$$

Ta gọi:

• Đoạn đường đầu đã đi là $S_1$
• Đoạn đường còn lại đã đi là $S_2$
• Thời gian đi hết đoạn đường đầu là $t_1$
• Thời gian đi hết đoạn đường còn lại là $t_2$

Dĩ nhiên theo đề bài, chúng ta đã biết rằng cả đoạn đường AB sẽ bằng tổng chiều dài của 2 đoạn đường $S_1$ và $S_2$ cộng lại, hay,

$$S_{\text{AB}} = S_1 + S_2$$

Tổng thời gian đi hết cả đoạn đường AB cũng tương tự đúng không nào,

$$t_{\text{AB}} = t_1 + t_2$$

Thế vào biểu thức $(1)$, ta có,

$$v_{tb} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2} \hspace{1cm} (2)$$

Mặt khác, từ công thức định nghĩa vận tốc trung bình ban đầu, ta có thể dễ dàng áp dụng để suy ra $t = \frac{S}{v_{tb}}$, thế vào biểu thức $(2)$, ta có,

$$v_{tb} = \frac{S_1 + S_2}{\left( \frac{S_1}{v_1} + \frac{S_2}{v_2} \right)} \hspace{1cm} (3)$$

Theo đề bài, ta đã biết được vận tốc $v_1 = 12$ km/h , $v_2 = 8$ km/h, thế vào biểu thức $(3)$,

$$v_{tb} = \frac{S_1 + S_2}{\left( \frac{S_1}{12} + \frac{S_2}{8} \right)} \hspace{1cm} (4)$$

Thông tin 1/2 đoạn đường đầu cho ta biết điều gì? Có phải là một nửa đoạn đường AB đã đi được không? Tức là,

$$S_1 = \frac{S_{\text{AB}}}{2}$$

Tương tự, ta có đoạn đường còn lại,

$$S_2 = \frac{S_{\text{AB}}}{2}$$

Ok, thế những gì chúng ta biết thêm vào biểu thức $(4)$,

$$v_{tb} = \frac{ \frac{S_{\text{AB}}}{2} + \frac{S_{\text{AB}}}{2} }{\left[ \frac{ \left( \frac{S_{\text{AB}}}{2} \right) }{12} + \frac{ \left( \frac{S_{\text{AB}}}{2} \right) }{8} \right]}$$

Công việc cuối cùng còn lại chỉ là rút gọn biểu thức,

• Ở tử, $\frac{S_{\text{AB}}}{2} + \frac{S_{\text{AB}}}{2} = S_{\text{AB}}$
• Ở mẫu, thực hiện cộng hai phân số (vì hai phân số khác mẫu nên quy đồng và anh sẽ chọn lấy mẫu chung bằng $24$ bởi $24$ có thể vừa chia hết cho $12$ vừa chia hết cho $8$ được).

Ta tiếp tục có,

$$ \begin{align} v_{tb} & = \frac{ S_{\text{AB}} }{\left[ \frac{ \left( \frac{S_{\text{AB}}}{2} \right) \times 2 + \left( \frac{S_{\text{AB}}}{2} \right) \times 3 }{24} \right]} \\ & = \frac{ S_{\text{AB}} }{\left[ \frac{ S_{\text{AB}} + \left( \frac{3}{2} S_{\text{AB}} \right) }{24} \right]} \\ & = \frac{ S_{\text{AB}} }{\left[ \frac{ \left( 1 + \frac{3}{2} \right) S_{\text{AB}} }{24} \right]} \\ & = \frac{ S_{\text{AB}} }{\left[ \frac{ \left( \frac{5}{2} S_{\text{AB}} \right) }{24} \right]} \\ & = S_{\text{AB}} \times \frac{24}{\frac{5}{2} S_{\text{AB}}} \\ & = \frac{24}{\left( \frac{5}{2} \right)} \\ & = 9.6 \text{ km/h} \end{align} $$

Vậy đáp số cho bài toán của nhóc, vận tốc trung bình trên cả quãng đường AB là $9.6 \text{ km/h}$.