1
Véctơ là gì? Véctơ có những đặc điểm tính chất nào?
1
vietkhai12330 đã đăng:

Trên Wiki có giải thích véc-tơ nhưng mình thấy nó rất là trừu tượng khó hiểu? Chắc người viết Wiki có nội công quá cao mình không tiếp thu được. Có bạn nào có cách giải thích gần với học sinh hơn không?

Không biết bạn đang hỏi véc-tơ trong mặt phẳng $Oxy$ hay véc-tơ trong không gian $Oxyz$ nhỉ?

Ðức FC 11.12.2017

Mình quên không ghi rõ, Véc-tơ trong mặt phẳng $Oxy$ á bạn.

vietkhai123 11.12.2017
2

Ok, bạn có thể xem câu trả lời của mình viết bên dưới. Hy vọng nó sẽ giúp ích cho bạn.

Ðức FC 11.12.2017
thêm bình luận...
4
Ðức FC110 đã đăng:

Véc-tơ là gì?

Để đi tới khái niệm véc-tơ mình sẽ bắt đầu từ điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ nhé. Xét giả thuyết sau:

Trong tọa độ $Oxy$ cho $A(3,2)$:

Tọa độ điểm trong mặt phẳng

Với $A(x,y)$ có tọa độ $x = 3$ và $y = 2$ được gọi là một điểm trong hệ trục tọa độ $Oxy$. Điều này quá đơn giản chắc hẳn ai cũng biết, mình sẽ đến tiếp với khái niệm rất đơn giản tiếp theo là đoạn thẳng.

Cho hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$:

Đường thẳng giữa hai điểm

Đường thẳng nối giữa hai điểm AB được gọi là đoạn thẳng AB, ký hiệu AB, rất đơn giản. Bây giờ chúng ta sẽ đến với khái niệm véc-tơ.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(x_1,y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ bất kỳ chúng ta luôn vẽ được một véc-tơ từ A tới B ký hiệu là $\overrightarrow{AB}$, hoặc chúng ta cũng có thể vẽ được một véc-tơ từ B tới A ký hiệu là $\overrightarrow{BA}$.

Véc-tơ trong mặt phẳng Oxy

Hình ở trên là một véc-tơ có chiều bắt đầu từ A kết thúc tại B, ký hiệu $\overrightarrow{AB}$

Vậy, véc-tơ khác điểm ở chỗ nào?

  • Véc-tơ bao gồm 2 điểm tạo thành.

Và, véc-tơ khác đoạn thẳng ở chỗ nào?

  • Đoạn thẳng không có hướng (AB hay BA đều giống nhau), véc-tơ có hướng cho nên ($\overrightarrow{AB}$ sẽ khác $\overrightarrow{BA}$).

Từ đó mình đi đến khái niệm định nghĩa véc-tơ như sau:

Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướngcó độ lớn

Khái niệm trên của vừa định nghĩa véc-tơ và đưa ra tính chất của véc-tơ luôn. Mình sẽ tiếp tục nói kỹ về hai tính chất này.

Tính chất của Véc-tơ?

Độ lớn của véc-tơ:

Độ lớn của véc-tơ hay còn gọi là độ dài của một véc-tơ $\overrightarrow{x}$ được ký hiệu là $\parallel x \parallel$,

Với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ ở trên, thì độ lớn véc-tơ $\parallel AB \parallel$ chính là độ dài đoạn thẳng AB,

Tính độ lớn của một véc-tơ

Dựa vào hình trên, với $AC = 3$, $BC = 2$, chắc chắn bạn có thể tính được độ lớn véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ dựa vào định lý Pytago, Ta có:

$$AB^2 = AC^2 + CB^2$$

$$AB^2 = 3^2 + 2^2$$

$$AB = \sqrt {9+4} = \sqrt {13} $$

Hướng của véc-tơ:

Phần hướng của véc-tơ hơi khó hiểu mình sẽ đi từ từ có gì thắc mắc bạn cứ để bình luận bên dưới nhé. Đầu tiên mình sẽ đưa ra khái niệm hướng của véc-tơ rồi sẽ phân tích sau,

Định nghĩa: Hướng của một véc-tơ $x$ có tọa độ $x(x_1, x_2)$ là một véc-tơ $u$ có tọa độ $u\left(\frac{x_1}{\parallel x \parallel}, \frac{x_2}{\parallel x \parallel}\right)$

Tọa độ của véc-tơ $\vec{u}$ ở đâu ra ấy nhỉ? Tọa độ của $\vec{u}$ thì liên quan gì đến việc chúng ta đang xác định hướng của $\vec{x}$ ở đây?

À, thì ra là hướng của một véc-tơ trong hệ trục $Oxy$ là hệ số góc của véc-tơ đó với trục $Ox$ và trục $Oy$, và tọa độ của véc-tơ $\vec{u}$ ở đây chính là kết quả suy ra từ hệ số góc này.

Đọc tới đây, chắc bạn đã mường tượng được ý mình muốn nói rồi đúng không? Nếu không, đừng lo lắng, bạn hãy nhìn hình bên dưới,

Tính hướng của véc-tơ

Cho nên, muốn tính hướng của một véc-tơ, ta phải tính góc tạo bởi véc-tơ đó với hai trục tọa độ $Ox$ và $Oy$. Tức là ta phải tính $\alpha$ và $\beta$, từ $\alpha$ và $\beta$ suy ra tọa độ của véc-tơ $u$ cũng chính là hướng của véc-tơ $x$.

Áp dụng, một số tính chất tính góc của tam giác vuông, ta có:

$$\cos(\alpha) = \frac{\text{ck}}{\text{ch}}$$

Trong đó:

  • ck: cạnh kề
  • ch: cạnh huyền

Do đó, từ định nghĩa ban đầu ta có thể nói lại như sau: Hướng của véc-tơ $\vec{x}$ được xác định bằng hàm $\cos$ của góc $\alpha$ và $cos$ của góc $\beta$, từ đó ta suy ra,

$$\cos(\alpha) = \frac{x_1}{\parallel x \parallel}$$

$$\cos(\beta) = \frac{x_2}{\parallel x \parallel}$$

Công thức này cũng chính là tọa độ của véc-tơ $u$ mà mình định nghĩa lúc ban đầu.

Bây giờ, mình sẽ tính hướng của véc-tơ $\vec{x}$ từ hình đã cho với độ lớn của véc-tơ $x$ đã tính ban đầu $\parallel x \parallel = AB = \sqrt{13}$ và $x_1 = 3$, $x_2 = 2$ để làm ví dụ nhé:

$$\cos(\alpha) = \frac{x_1}{\parallel x \parallel} = \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0.83 $$

$$\cos(\beta) = \frac{x_2}{\parallel x \parallel} = \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55 $$

Vậy hướng của véc-tơ $\vec{x}$ là một véc-tơ $\vec{u}$ có tọa độ $u(0.83, 0.55)$, bây giờ bạn thay tọa độ của véc-tơ $\vec{u}$ vào biểu đồ thử xem véc-tơ $\vec{u}$ có chỉ đúng hướng của véc-tơ $\vec{x}$ ban đầu không nhé,

Xác định hướng của một véc-tơ

Điểm H trên hình ảnh hơi lệch một tí do mình tính xấp xỉ chưa chính xác, nhưng lý thuyết cơ bản về véc-tơ mình đã trình bày rồi. Còn một số lý thuyết nâng cao nữa nhưng mình nghĩ bao nhiêu đó là đủ cho câu hỏi của bạn rồi, hy vọng bạn sẽ hiểu.

đã bổ sung 3.8 năm trước bởi
Mr. Carrot ♦♦ 30
2

Không ngờ lại dễ hiểu như vậy. Cảm ơn bạn rất nhiều

vietkhai123 11.12.2017
1

Rất vui được giúp bạn.

Ðức FC 11.12.2017

Em tưởng véc-tơ bao gồm 2 điểm mà anh?

Cộng đồng 17.07.2019
1

Em năm nay lên lớp 9, thấy các anh chị nói về vectơ nên muốn tìm hiểu nhưng mấy trang khác giải thích khó hiểu quá, may mà tìm được anh, dễ hiểu lắm ạ :)

Member4792 12.08.2019

Cho mình hỏi thêm đặc điểm của vectơ không là gì?

Cộng đồng 28.11.2019

Theo như mình hiểu thì vector không là vector có độ lớn bằng 0, minh họa thực tế mình nghĩ là dòng nước đang đứng yên.

Cộng đồng 30.11.2019
thêm bình luận...
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)