Theo mình biết thì đạo hàm là đường thẳng tiếp tuyến tại một điểm của đường cong về mặt hình học. Vậy tại sao công thức đạo hàm không phải là đường thẳng?
Ví dụ:
$$y = x^3 \Rightarrow y' = 3x^2$$
Đối với ví dụ trên đạo hàm của $y$ là phương trình bậc 2, có bạn nào biết tại sao lại như vậy không?
Đạo hàm chính xác là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến, bạn không nên nhầm lẫn giữa hai khái niệm hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc) và đường thẳng tiếp tuyến. Nói một cách chính xác hơn, công thức đạo hàm giúp bạn tìm hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến tại một điểm cụ thể.
Mà hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến tại một điểm cụ thể là một hằng số và sẽ có những giá trị khác nhau, tức là nó phụ thuộc vào vị trí của của điểm trên đường cong, khi bạn thay đổi tọa độ của điểm, giá trị của hệ số góc cũng bị thay đổi theo.
Với $y = x^3 \Rightarrow y' = 3x^2$, sẽ có đồ thị đạo hàm như sau,
Ý nghĩa đường đồ thị của đạo hàm (đường màu đỏ) không nói rằng hàm số của đạo hàm không phải là đường thẳng mà nó thể hiện hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến tại mỗi vị trí $x$ trên hàm số $y$. Cái bạn thấy ở kết quả đạo hàm là hàm số biểu diễn ở dạng tổng quát cho mọi giá trị $x$, nếu lấy từng điểm cụ thể, thì kết quả sẽ là một hằng số.
$$x = 1 \Rightarrow f'(x) = 3 \cdot 1^2 = 3$$ $$x = 2 \Rightarrow f'(x) = 3 \cdot 2^2 = 12$$
[Cập nhật thêm]
Nhìn vào đồ thị hàm số $y = x^3$, mặc dù một nửa của đồ thị ở trường hợp âm nhưng nếu đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, xét về độ dốc, chúng ta đều đang đi "lên dốc", đó là lý do tại sao đồ thị hàm số của đạo hàm (hay hệ số góc) luôn luôn dương (bạn có thể nhìn vào hình đầu tiên) và đường thẳng tiếp tuyến tại mỗi điểm thuộc đồ thị (trừ vị trí $x = 0$) có hệ số góc dương thì luôn luôn hướng lên.
