Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tồn tại trong miền xác định của chúng.

Ta có:

(u(x)v(x))' = lim(h->0) [u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)] / h

Áp dụng công thức nhân đa thức, ta có:

(u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)) / h = [u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h) - u(x)v(x)] / h

= [u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)] / h + [u(x)v(x+h) - u(x)v(x)] / h

= u(x+h)[v(x+h) - v(x)] / h + v(x)[u(x+h) - u(x)] / h

= u(x+h)v'(x) + v(x)u'(x)

Khi h tiến tới 0, ta có:

lim(h->0) u(x+h)v'(x) = u(x)v'(x)

lim(h->0) v(x)u'(x) = v(x)u'(x)

Vậy:

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)