Tỷ lệ vàng là gì

Cũng giống như những con số đặc biệt khác mà chúng ta từng biết như số Pi ($\approx 3.14159 $), số Euler ($\approx 2.71828$), ...v.v. thì tỷ lệ vàng cũng là một con số đặc biệt kí hiệu là $\phi$ hoặc $\varphi$ (đọc là Phi) có giá trị xấp xỉ:

$$1.618033988749894848 \text{...}$$

Tỷ lệ vàng hay số $\varphi$ xuất hiện rất nhiều trong các hình thái tự nhiên và người ta tin rằng nếu một vật, kiến trúc hay tạo hóa, ... tuân theo tỷ lệ vàng sẽ đạt đến sự hoàn mỹ và đẹp đẽ nhất.

Ví dụ một số công trình kiến trúc và tác phẩm vĩ đại nhất thế giới sử dụng tỷ lệ vàng như:

• Đền Parthenon (Hy Lạp):

  

• Kim tự tháp Giza (Ai Cập)

  

• Chân dung Mona Lisa của Leonardo da Vinci:

  

Ý nghĩa đằng sau khái niệm tỷ lệ vàng

Rất đơn giản với bài toán đặt ra như sau, cho hai điểm A và B, ta vẽ được đoạn thẳng từ A tới B, tìm vị trí điểm C nằm trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài AC và CB đạt tỷ lệ vàng (hay xấp xỉ số $\varphi$).

Gọi a là độ dài đoạn AC và b là độ dài đoạn CB, nếu:

$$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi \approx 1.6180$$

thì tại vị trí điểm C, độ dài đoạn AC và CB đạt tỷ lệ vàng.

Điều cũng tương tự như tìm tỷ lệ vàng đối với các hình học phức tạp hơn như hình chữ nhật, hình tam giác, ...v.v.

Giá trị 1.1618... của tỷ lệ vàng từ đâu mà ra

Mình sẽ bắt đầu với phương trình tính tỷ lệ vàng vừa mới nêu lúc nãy là,

$$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi \hspace{1cm} \text{(1)}$$

Ở đây có hai biến $a$ và $b$, cho nên chúng ta đưa phương trình về cùng một biến $\varphi$ để dễ giải hơn, ta có vế trái,

$$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{a} + \frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a} \hspace{1cm} \text{(2)}$$

Theo phương trình (1), ta có vế phải $\frac{a}{b} = \varphi$, mà,

$$\frac{b}{a} = 1 / \left(\frac{a}{b}\right) = \frac{1}{\varphi} \hspace{1cm} \text{(3)}$$

Từ (2) và (3), ta đưa phương trình về dạng $\varphi$ như sau,

$$1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi$$

Nhân từng phần tử với $\varphi$ với mục đích khử đi mẫu số, ta được,

$$\varphi + 1 = \varphi^2$$

Hay,

$$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$$

Tới đây, thì đơn giản rồi, giải nghiệm của phương trình bậc 2, ta được hai nghiệm,

$$\varphi \approx -0.6180 \text{ và } \varphi \approx 1.6180 $$

Bởi vì $\varphi$ là con số chỉ tỷ lệ, mà tỷ lệ thì không có giá trị âm, cho nên ta loại bỏ trường hợp âm và được kết quả cuối cùng là $1.6180$

Ứng dụng của tỷ lệ vàng trong tự nhiên

Tỷ lệ vàng hình thành do tạo hóa của tự nhiên rất đa dạng và phong phú ở các loại động vật, thực vật, khoáng vật, ...v.v. trên trái đất cho đến các thiên hà trong vũ trụ.

Hy vọng sẽ giúp ích.