1
Giải thích một cách chi tiết về đạo hàm cấp 2?
1
Ánh Tuyết10 đã đăng:

Bạn nào có thể giải thích một cách chi tiết và dễ hiểu về bản chất đạo hàm cấp 2 là gì và ứng dụng của nó như thế nào không?

thêm bình luận...
4
Võ Hiền Vinh40 đã đăng:

Mình giả sử bạn đã biết đạo hàm là gì? Nếu không bạn có thể tham khảo hai bài viết sau để có cảm nhận bản chất của đạo hàm là gì trước khi đọc tiếp phần giải thích mà mình sẽ trình bày:

Mình xin nhắc lại một chút, khi nói tới đạo hàm không mà không nói gì thêm ta ngầm hiểu đó là đạo hàm cấp 1 và về mặt toán học, đạo hàm sẽ giúp chúng ta tính được đường tiếp tuyến tại bất kỳ một điểm nào của hàm số đã cho (mình đang loại trừ trường hợp sẽ có những hàm số mà đạo hàm không được xác định tại một vài điểm đặc biệt thuộc hàm số đó).

Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm cấp một, trong khi đạo hàm cấp một xét sự thay đổi của hàm số gốc với các điểm thuộc hàm số đó thì đạo hàm cấp hai xét sự thay đổi của đường tiếp tuyến tạo ra bởi đạo hàm cấp một. Do đó, mục đích của hai loại đạo hàm này là khác nhau:

  • Đối với đạo hàm cấp một: kết quả của đạo hàm cấp 1 tại một điểm $x$ có giá trị dương nói lên rằng hàm số gốc tỉ lệ thuận với điểm $x$, tức $x$ tăng thì hàm số gốc tăng và ngược lại, nếu kết quả có giá trị âm thì nói lên rằng hàm số gốc tỉ lệ nghịch với điểm $x$, tức là $x$ tăng hàm số gốc sẽ giảm và ngược lại... tóm lại là hướng của đường tiếp tuyến trên hàm số gốc.
  • Đối với đạo hàm cấp hai: kết quả của đạo hàm cấp 2 tại một điểm $x$ là dương cho chúng ta biết độ dốc của đường tiếp tuyến đang tăng và ngược lại, giá trị âm cho biết độ dốc đường tiếp tuyến đang giảm - tóm lại là giá trị của đường tiếp tuyến đang tăng hay giảm.

Từ phân tích trên, hy vọng bạn sẽ có những cảm nhận về đạo hàm cấp hai, dưới đây là ví dụ chứng minh cho điều này.

Cho hàm số bậc ba đơn giản như sau:

$$f(x) = 3x^3$$

Ta có thể vẽ đồ thị hàm số bậc ba (tức là hàm số gốc) theo đề bài như hình dưới đây:

Đồ thị hàm số bậc 3

Áp dụng công thức tính đạo hàm ta có ngay đạo hàm cấp 1 là:

$$f'(x) = 9x^2$$

Ta có thể vẽ đồ thị của đường độ dốc theo kết quả đạo hàm cấp 1 như sau:

Đồ thị đạo hàm của hàm số bậc 3

Từ kết quả đạo hàm cấp 1, giả sử cho $x = -0.25$ ta có $f'(-0.25) = 9 (-0.25)^2 = 0.5625$, là một giá trị dương, chứng tỏ tại hàm số gốc với x bằng $-0.25$, hướng của đường tiếp tuyến là đang hướng lên, tỉ lệ thuận với hàm số gốc.

Tính nhanh, ta có kết quả đạo hàm cấp 2 như sau:

$$f''(x) = 18x$$

Ta có thể vẽ đồ thị của đường độ dốc theo kết quả đạo hàm cấp 2 như sau:

Đồ thị đạo hàm cấp hai của hàm số

Ví dụ với $x = -0.25$ ta có $f''(-0.25) = 18. (-0.25) = -4.5$, là một giá trị âm, điều này nói lên giá trị của đường tiếp tuyến giảm.

đã bổ sung 2.3 năm trước bởi
Avatar: Tèo Em Tèo Em60
Nha Trang
thêm bình luận...

Câu trả lời của bạn

Chào mừng bạn đến với cộng đồng chia sẻ tri thức BanhoiTuidap.com, bạn có thể chia sẻ bất kỳ sự hiểu biết, nghiên cứu hoặc kinh nghiệm của mình về câu hỏi này với một số lưu ý:
  • Lịch sự, tế nhị.
  • Hạn chế ghi tắt, câu trả lời của bạn chỉ nên tập trung vào câu hỏi ở trên.
Câu trả lời của bạn sẽ được đăng ở chế độ cộng đồng, cho nên bạn sẽ không thể chỉnh sửa sau khi đăng, có thể đăng ký thành viên trên BanhoiTuidap.com khi bạn muốn theo dõi câu hỏi này hoặc chủ đề liên quan.
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)