Trong toán giải tích:

• Đạo hàm: dùng để tính sự thay đổi của một hàm số tại một thời điểm (hay một điểm), đạo hàm xét xem sự thay đổi này diễn ra như thế nào khi thay đổi giá trị các thành phần có trong nó.
• Tích phân: dùng để tính tổng xấp xỉ của một diện tích bên dưới được tạo ra bởi một hàm số nào đó.

Đối với đạo hàm, tại một thời điểm $x$ (như hình ở trên), ta tính sự thay đổi của hàm $f(x)$ phụ thuộc vào $x$, với công thức:

$$\frac{dy}{dx}$$

Trong đó $dy$ là viết tắt của từ different y, tương tự như $dx$, bản chất của công thức cũng nói lên rằng: Sự thay đổi của y trên cho sự thay đổi x, tức là $y$ thay đổi như thế nào khi $x$ thay đổi. Ký hiệu $dy/dx$ ở đây không phải là phép chia nhé. Để tính đạo hàm, người ta dùng độ dốc của đường tiếp tuyến qua một điểm cụ thể nào đó, tức là cho một hàm số cho trước, đạo hàm sẽ hạ bậc hàm số đó để tìm độ dốc của đường tiếp tuyến.

Ví dụ:

$$y = x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (x^2)' = 2x$$

Đối với tích phân,

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{x\to\infty} \sum^n_{i=1} f(x_i) \Delta x_i$$

Nhìn vào công thức tính tích phân tổng quát, bạn có thể hình dung được tích phân của một hàm $f(x)$ (hay diện tích được tạo bởi hàm $f(x)$) là tổng diện tích hình chữ nhật bên dưới được dùng để xấp xỉ đường cong với giá trị $\Delta x$ thay đổi rất nhỏ.

Mục đích $\Delta x$ nhỏ ở đây ý muốn nói rằng nếu bạn sử dụng hình chữ nhật có cạnh ngang càng nhỏ, bạn càng có thể xấp xỉ đường cong càng chính xác.

[Cập nhật]

Phần tích phân mình giải thích chưa rõ, bạn có thể xem thêm câu trả lời rất chi tiết, đầy đủ và dễ hiểu ở câu hỏi: Tại sao tích phân là đảo ngược của đạo hàm trong khi chúng áp dụng khác nhau?

Mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân?

Đạo hàm và tích phân là hai thành phần đối lập trong toán giải tích, đạo hàm thường nói đến hạ bậc, trong khi tích phân tăng bậc. Cho nên, phương trình tạo ra từ đạo hàm có thể được khôi phục lại bằng tích phân.