Question

Đạo hàm của x mũ x mũ x là gì?

0

Minh Ngọc • 30 đã đăng:

Cho hàm số $f(x)$ có dạng:

$$f(x) = x^{x^x}$$

Tính giá trị đạo hàm của hàm số $f'(x)$?

toán học đạo hàm

• •

đã hỏi 6.2 năm trước bởi

Minh Ngọc • 30

thêm bình luận...

hongphuong20 đã đăng 6.2 năm trước bởi hongphuong20 • 20 · Accepted Answer

Sử dụng hàm Logarit để giải quyết bài toán này, đầu tiên dùng hàm Logarit cho hai vế theo phương trình đề bài, ta được:

$$\ln(f(x)) = \ln \left(x^{x^x} \right)$$

Từ đó, theo công thức hàm Logarit $\log(a^b) = b\log(a)$, ta có:

$$\ln(f(x)) = x^x \ln(x)$$

Áp dụng công thức đạo hàm từng phần ở vế trái và đạo hàm của tích ở vế phải, ta có:

$$\left[ \ln(f(x)) \right]' = \left[ x^x \ln(x) \right]' \hspace{1cm} (1)$$

$$(1) \Leftrightarrow \frac{1}{f(x)} f(x)' = (x^x)' \ln(x) + x^x (\ln(x))'$$

Đạo hàm của $\ln(x) = \frac{1}{x} \quad$, bạn có thể xem chi tiết cách giải đạo hàm của $x^x$. Bài toán này chỉ là trường hợp mở rộng của $x^x$ mà thôi. Ở đây mình sẽ ghi trực tiếp kết quả bên dưới,

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \left[x^x(\ln(x) + 1)\right] \ln(x) + x^x \frac{1}{x}$$

Nhân vào biểu thức trên, ta được:

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = x^x\ln(x) + x^x(\ln(x))^2 + \frac{x^x}{x}$$

Lấy $x^x$ làm thừa số chung, đồng thời chuyển biểu thức $f(x)$ qua vế phải, ta được:

$$f'(x) = f(x) x^x \left( \ln(x) + \ln(x)^2 + \frac{1}{x} \right)$$

Thay $f(x) = x^{x^x}$ vào, ta được đáp án cuối cùng:

$$f'(x) = \left(x^{x^x}\right) (x^x) \left( \ln(x) + \ln(x)^2 + \frac{1}{x} \right)$$