Về mặt lý thuyết, đạo hàm của một hàm số $y$ với một biến $x$ nào đó trong $y$ là xét sự thay đổi của $x$ sẽ ảnh hưởng đến sự thay đổi của $y$ như thế nào. Với từ khóa different là sự thay đổi,

$$\frac{dy}{dx} $$

(Hiểu là sự thay đổi của $y$ phụ thuộc vào sự thay đổi của $x$)

Do đó, giả sử ta có hàm số $y = x$, áp dụng công thức ta có đạo hàm của hàm số này $y' = 1$. Điều này có nghĩa là gì?

• $x$ tăng lên 1 đơn vị thì $y$ cũng tăng lên 1 đơn vị.
• $x$ giảm đi 1 đơn vị thì $y$ cũng giảm đi 1 đơn vị.

Ví dụ thứ hai, giả sử ta có hàm số $y = 2x$, áp dụng công thức ta có đạo hàm của hàm số này $y' = 2$. Điều này có nghĩa là gì?

• $x$ tăng lên 1 đơn vị thì $y$ tăng lên gấp 2 lần $x$.
• $x$ giảm đi 1 đơn vị thì $y$ giảm gấp 2 lần $x$.

Qua hai ví dụ trên, bạn có thể dễ dàng nhận thấy $y$ sẽ thay đổi nếu $x$ thay đổi.

Vậy còn trường hợp $y = c$ (với $c$ là một hằng số), giá trị của $y$ sẽ không thay đổi và luôn luôn bằng giá trị của hằng số $c$.

Mà lúc đầu chúng ta đã nói rằng bản chất của đạo hàm là xét mối quan hệ thay đổi giữa hai đại lượng. Đằng này, $y$ luôn luôn bằng $c$, tức là không có thay đổi, mà không có thay đổi thì làm gì có mối quan hệ nào. Do đó, với bất cứ hằng số nào thì đạo hàm của nó luôn luôn bằng 0.

Bạn @Phước đã trình bày ý nghĩa tại sao đạo hàm của hằng số bằng 0, còn bạn nào muốn chứng minh thì có thể áp dụng công thức định nghĩa đạo hàm để chứng minh,

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Gọi chung mọi hằng số theo ví dụ của bạn là $c$, ta có $y = c$, thế vào công thức định nghĩa đạo hàm,

$$y' = f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \hspace{1cm} (1)$$

Đối với hàm hằng thì với mọi giá trị của $x$, giá trị của hàm số $f$ vẫn không thay đổi và luôn luôn bằng hằng số $c$, cho nên:

• $f(x + h) = c$
• $f(x) = c$

Do đó, $(1)$ tương đương:

$$y' = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$$

Nếu muốn chặt chẽ hơn thì bạn có thể sử dụng khái niệm giới hạn trái $(h \to 0^-)$ và giới hạn phải $(h \to 0^+$) tại $0$ để chứng minh.