Theo đề bài, cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp tâm O, khi đó ta có các đường trung trực OD, OE và OF lần lượt vuông góc tại trung điểm của các cạnh AB, AC và BC như hình bên dưới:
Ta được các đường phân giác tương ứng OB, OA và OC.
Xét tam giác OAB, ta có:
$\Delta \text{ODA}$ = $\Delta \text{ODB}$ (Vì OD là đường trung trực tại cạnh AB và AD = DB)
$\Rightarrow \text{OA = OB} \hspace{1cm}$ (1)
Xét tam giác OAC, ta có:
$\Delta \text{OEA}$ = $\Delta \text{OEC}$ (Vì OE là đường trung trực tại cạnh AC và AE = EC)
$\Rightarrow \text{OA = OC} \hspace{1cm}$ (2)
Gọi $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tâm O, từ (1) và (2) suy ra: $r$ = OB = OA = OC (3)
Tiếp theo, ta phải chứng minh được khoảng cách từ tâm O đến các cạnh của tam giác ABC là nhỏ hơn bán kính $r$, vì bán kính đường tròn $r$ lớn hơn thì đường tròn mới nằm ngoài tam giác ABC được.
Xét một điểm thuộc một cạnh bất kỳ của tam giác ABC (bạn có thể chọn bất kỳ điểm nào nằm trên cạnh tam giác ABC, kết quả đều như nhau), ở đây mình chọn điểm M thuộc cạnh AD, khi đó ta có:
$\text{OA} = \sqrt{\text{AD}^2 + \text{DO}^2}$ = $\sqrt{\left(\text{AM}^2 + \text{MD}^2\right) + \text{DO}^2} \hspace{1cm}$ (4)
$\text{OM} = \sqrt{\text{MD}^2 + \text{DO}^2} \hspace{1cm}$ (5)
Từ (4) và (5), ta suy ra $\text{OM < OA} \hspace{1cm}$ (6)
Do đó có thể kết luận khoảng cách từ tâm O đến các cạnh của tam giác ABC nhỏ hơn bán kính $r$ của đường tròn.
Từ (3) và (6), ta có đường tròn tâm O là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC (điều phải chứng minh).