Khả trong từ khả năng, tức là có thể làm được.

Vi trong từ vi phân, là một cách nói khác của đạo hàm.

Vậy một hàm số khả vi có nghĩa là một hàm số có khả năng đạo hàm được, đạo hàm được có nghĩa là gì?

Đầu tiên, ta xét hai từ đạo hàm, bản chất của đạo hàm về mặt số học là sự thay đổi của đại lượng này sẽ ảnh hưởng tới đại lượng kia như thế nào. Nhưng về mặt số học, mình nghĩ nó không giúp mường tượng được làm sao mà một hàm số có khả năng đạo hàm được, ta sẽ nhìn bản chất của đạo hàm về mặt hình học, ta có đạo hàm là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến tại một điểm nào đó trên đồ thị hàm số của nó.

Một hàm số được gọi là khả vi hay có khả năng đạo hàm được khi với bất kỳ một điểm nào nằm trên đồ thị hàm số của nó, ta cũng có thể vẽ được 1 đường thẳng tiếp tuyến (đường màu đỏ ở ví dụ trên) đi qua điểm đó, tại sao vẽ được đường thẳng tiếp tuyến thì hàm số đó có đạo hàm, bạn có thể xem tại câu ý nghĩa hình học của đạo hàm đã giải thích khá rõ.

Nói lại một cách tóm tắt, cho 2 điểm A và B bất kỳ trên đồ thị hàm số, ta vẽ được một đường cát tuyến nối 2 điểm đó, khi điểm B dịch chuyển về sát và trùng với điểm A, đường cát tuyến sẽ trở thành đường tiếp tuyến, điều này sẽ không thể xảy ra khi hàm số bị đứt quãng tại một điểm nào đó, cho nên khi bạn nghe đâu đó hàm số khả vi là hàm số liên tục tại mọi điểm trên đồ thị của nó thì cơ sở của định nghĩa này được hình thành từ tính chất của đường cát tuyến. Cũng giống như bạn đang đứng bên một bờ vực, phía trước là một hố sâu thăm thẳm, bạn sẽ không thể di chuyển qua bờ bên kia được.

Ví dụ của hàm số không khả vi.

Hy vọng sẽ có ích.