Sô vô cùng ($\infty$) không phải là một số.

Số vô cùng là một khái niệm dùng để chỉ sự không giới hạn (vô hạn).

Giả sử mình có vô hạn các đồng tiền xu đánh số từ $1, 2, 3, ...$ đến $\infty$.

Mình cho bạn tất cả các đồng tiền xu đó, mình sẽ không còn gì cả, trong trường hợp này,

$$\infty - \infty = 0$$

Nếu mình cho bạn các đồng tiền xu có số được đánh dấu là các số chẵn $2, 4, 6, 8, 10, ...$ đến số $\infty$ chẵn, thì mình vẫn còn,

$$\infty - \infty = \infty$$

Nếu mình chỉ giữ lại 10 đồng xu đầu tiên và còn lại đem cho bạn hết, thì,

$$\infty - \infty = 10$$

Cho nên, $\infty - \infty$ có thể là bất kỳ một giá trị nào, còn phụ thuộc vào giới hạn mà bạn đề ra.

Ý tưởng mình đưa ra được lấy từ một bài toán khá nổi tiếng là Hilbert - Nghịch lý của Khách sạn Lớn nói về sự mẫu thuẫn cảm nhận của con người về số vô cùng.

Bài toán nói rằng một khách sạn có vô hạn số phòng đã được thuê bởi vô hạn số người, tức là hiện tại phòng đã đầy, không thể nhận thêm khách nữa. Đột nhiên có thêm một người khách khác đến thuê phòng, nếu bạn là quản lý bạn sẽ làm thế nào? Bạn biết rằng bạn có vô hạn số phòng (vô hạn tức là không bao giờ hết đúng không nào), bạn chỉ cần bảo người khách ở phòng số $1$ chuyển sang phòng số $2$, phòng số $2$ chuyển sang phòng số $3$, phòng số $3$ chuyển sang phòng số $4$, cứ như thế phòng số $n$ chuyển sang phòng số $n + 1$, vậy tức là phòng số $1$ bây giờ đang trống, người khách kia có thể vào ở. Nhưng lúc đầu chúng ta đã nhận định là trước khi người khách mới đến, tất cả các phòng đã đầy người không thể nhận thêm nữa, nếu bây giờ lại có thêm vô hạn hành khách đến nữa, quản lý sẽ chuyển vô hạn số phòng để có thể đáp ứng đủ, càng nghĩ bạn lại càng thấy mâu thuẫn đúng không nào "vô hạn mà lại như không vô hạn, không vô hạn mà lại như vô hạn".