Chúng ta cần số phức để làm cho các bài toán trong toán học trở nên dễ dàng xử lý và chặt chẽ hơn khi đối mặt với các vấn đề như số vô tỉ, căn thức của số âm, các bài toán hàm lượng giác, tích phân vi phân, hay các ứng dụng trong dòng điện, ...v.v.

Lấy một ví dụ dễ hiểu, tại sao chúng ta lại cần phân số trong khi chúng ta có thể biểu diễn một số vô tỉ nào đó dưới dạng số thập phân.

Ví dụ, lấy $3$ phần của $7$, bạn có thể biểu diễn bằng một số vô tỉ với giá trị xấp xỉ $0.4285714285...$, giá trị này không những không chính xác khi được sử dụng để biểu diễn mà còn làm cho bạn gặp vấn đề đau đầu cộng với sai số nghiêm trọng khi giải các phương trình phức tạp hơn, ví dụ:

$$ \begin{cases} 7x - 3y = 0 \\ -x + 9y = 5 \end{cases} $$

Số phức cũng tương tự như vậy, không phải thứ gì đáng sợ cả, chúng ta cần số phức để làm cho mọi thứ trở nên đơn giản và có thể giải quyết được. Ví dụ phương trình $x^2 = -1$ có thể được giải quyết dễ dàng nếu bạn sử dụng định nghĩa số phức, $x = \pm \mathbf{i}$ với $\mathbf{i} = \sqrt{-1}$.

Một ví dụ khác nói lên sự áp dụng to lớn của số phức, có phải bạn đã từng cố học thuộc lòng các công thức tính hàm lượng giác không? Ví dụ:

• $\sin(A + B) = ?$
• $\sin(A - B) = ?$
• $\cos(A + B) = ?$
• $\sin(2A) = ?$
• $\cos(2A) = ?$
• $\sin \left( \frac{A}{2} \right) = ?$

Sẽ không cần phải cố gắng học thuộc mớ công thức hỗn loạn đó nữa nếu bạn sử dụng Công thức Euler - một công thức thể hiện mối quan hệ giữa hàm số lượng giác và số phức.

$$e^{\mathbf{i} x} = \cos x + \mathbf{i} \cdot \sin x$$

Giả sử mình không nhớ $\cos (A + B)$ bằng gì? $\sin (A + B)$ bằng gì nhưng mình biết rằng theo công thức Công thức Euler:

$$\cos(A + B) + \mathbf{i} \cdot \sin (A + B) = e^{\mathbf{i} \cdot (A + B)} \hspace{1cm} (1)$$

Mà,

$$ \begin{align} e^{\mathbf{i} \cdot (A + B)} & = e^{\mathbf{i} \cdot A}e^{\mathbf{i} \cdot B} \\ & = (\cos A + \mathbf{i} \cdot \sin A)(\cos B + \mathbf{i} \cdot \sin B) \\ & = \cos A \cos B + \cos A (\mathbf{i} \cdot \sin B) + (\mathbf{i} \cdot \sin A) \cos B - \sin A \sin B \end{align} $$

Nhân vế cuối có dấu trừ bởi vì $\mathbf{i}^2 = -1$ nhé, sau đó, nhóm lại phần thực riêng và phần ảo riêng, ta được,

$$\cos A \cos B - \sin A \sin B + \mathbf{i}(\cos A \sin B + \sin A \cos B) \hspace{1cm} (2)$$

Liên hệ giữa $(2)$ và vế trái của $(1)$, bạn có thể thấy $(2)$ thực chất là khai triển chi tiết ở vế trái của $(1)$ mà thôi, từ đó bạn dễ dàng suy ra,

$$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$ $$\sin(A + B) = \cos A \sin B + \sin A \cos B$$

Đơn giản mà không cần nhớ công thức loằn ngoằn kia, ngoài ra số phức còn rất nhiều ứng dụng và cách sử dụng khác.