Trước tiên, nếu đã học qua giới hạn thì chắc có lẽ bạn đã biết công thức giới hạn huyền thoại này,

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

Bây giờ hãy biến đổi biểu thức giới hạn theo câu hỏi của bạn một chút, ta có,

$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} $$

Nhân tử và mẫu cho $(1 + \cos x)$, ta được,

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x (1 + \cos x)}$$

Biểu thức ở tử có dạng là $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, ta có thể viết lại như sau,

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos^2 x)}{x (1 + \cos x)}$$

Mà theo công thức hàm lượng giác,

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$$

Cho nên,

$$ \begin{align} L & = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x (1 + \cos x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \sin x}{x (1 + \cos x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right] \end{align} $$

Mà giới hạn của tích bằng tích các giới hạn, ta có,

$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right) \hspace{1cm} (1)$$

Như đã nói lúc đầu,

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

Vậy $(1)$ tương đương,

$$(1) \Leftrightarrow L = 1 \cdot 0 = 0$$

Vậy đáp án cuối cùng là,

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 $$