1
Chứng minh đạo hàm của sin x bằng cos x?
2
Duy Thạch20 đã đăng:

thêm bình luận...
1
Việt Thanh10 đã đăng:

Đặt $y = \sin x$, áp dụng công thức định nghĩa đạo hàm, ta có,

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin(x)}{\Delta x}$$

Áp dụng công thức của hàm lượng giác,

$$\sin(A + B) = \sin B \cos A + \sin A \cos B$$

Ta khai triển,

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x \cos x + \sin x \cos \Delta x - \sin x}{\Delta x}$$

Vì biểu thức bên trong giới hạn có chung mẫu $\Delta x$ nên ta có thể tách ra thành 2 phần,

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x \cos x}{\Delta x} + \frac{\sin x \cos \Delta x - \sin x}{\Delta x} \right]$$

Mà giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn, cho nên ta có thể tiếp tục tách giới hạn ra,

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x \cos x}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin x \cos \Delta x - \sin x}{\Delta x} \right]$$

Đưa $\cos x$ ra ngoài $\lim$ ở vế đầu và lấy thừa số chung $\sin x$ ở vế thứ hai, ta được,

$$y' = \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin x \left( \cos \Delta x - 1 \right)}{\Delta x} \right]$$

Biến đổi dấu ở vế thứ 2 một chút,

$$y' = \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{-\sin x \left(1 - \cos \Delta x \right)}{\Delta x} \right]$$

Đưa $-\sin x$ ra ngoài $\lim$ luôn,

$$y' = \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \right] - \sin x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\left(1 - \cos \Delta x \right)}{\Delta x} \right]$$

Ok, bây giờ thực hiện tính hai giới hạn bên trong nữa là xong,

Giới hạn ở vế đầu tiên là một trong những giới hạn cơ bản nhất và đã được chứng minh bằng 1 sử dụng định lý kẹp,

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

Mục đích mình biến đổi nãy giờ là đưa về dạng giới hạn cơ bản này để sử dụng kết quả đã được chứng minh.

Còn giới hạn ở vế thứ 2, mình đã chứng minh $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 - \cos \Delta x}{\Delta x} = 0$ ở một câu hỏi khác rồi.

Thay vào, ta có,

$$y'= \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 = \cos x$$

đã bổ sung 2.3 năm trước bởi

Sao đưa sin với cos ra ngoài lim được vậy ạ?

Cộng đồng 09.04.2019

Bởi vì chúng ta đang xét giới hạn của hàm số khi $\Delta x$ tiến tới $0$ chứ không phải $x$ tiến tới $0$, cho nên có thể đưa $\sin x$ và $\cos x$ ra ngoài biểu thức giới hạn được bởi vì nó không liên quan gì tới giới hạn chúng ta đang xét.

Việt Thanh 09.04.2019
thêm bình luận...

Câu trả lời của bạn

Chào mừng bạn đến với cộng đồng chia sẻ tri thức BanhoiTuidap.com, bạn có thể chia sẻ bất kỳ sự hiểu biết, nghiên cứu hoặc kinh nghiệm của mình về câu hỏi này với một số lưu ý:
  • Lịch sự, tế nhị.
  • Hạn chế ghi tắt, câu trả lời của bạn chỉ nên tập trung vào câu hỏi ở trên.
Câu trả lời của bạn sẽ được đăng ở chế độ cộng đồng, cho nên bạn sẽ không thể chỉnh sửa sau khi đăng, có thể đăng ký thành viên trên BanhoiTuidap.com khi bạn muốn theo dõi câu hỏi này hoặc chủ đề liên quan.
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)