Đặt $y = \sin x$, áp dụng công thức định nghĩa đạo hàm, ta có,
$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin(x)}{\Delta x}$$
Áp dụng công thức của hàm lượng giác,
$$\sin(A + B) = \sin B \cos A + \sin A \cos B$$
Ta khai triển,
$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x \cos x + \sin x \cos \Delta x - \sin x}{\Delta x}$$
Vì biểu thức bên trong giới hạn có chung mẫu $\Delta x$ nên ta có thể tách ra thành 2 phần,
$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x \cos x}{\Delta x} + \frac{\sin x \cos \Delta x - \sin x}{\Delta x} \right]$$
Mà giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn, cho nên ta có thể tiếp tục tách giới hạn ra,
$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x \cos x}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin x \cos \Delta x - \sin x}{\Delta x} \right]$$
Đưa $\cos x$ ra ngoài $\lim$ ở vế đầu và lấy thừa số chung $\sin x$ ở vế thứ hai, ta được,
$$y' = \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin x \left( \cos \Delta x - 1 \right)}{\Delta x} \right]$$
Biến đổi dấu ở vế thứ 2 một chút,
$$y' = \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{-\sin x \left(1 - \cos \Delta x \right)}{\Delta x} \right]$$
Đưa $-\sin x$ ra ngoài $\lim$ luôn,
$$y' = \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \right] - \sin x \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\left(1 - \cos \Delta x \right)}{\Delta x} \right]$$
Ok, bây giờ thực hiện tính hai giới hạn bên trong nữa là xong,
Giới hạn ở vế đầu tiên là một trong những giới hạn cơ bản nhất và đã được chứng minh bằng 1 sử dụng định lý kẹp,
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
Mục đích mình biến đổi nãy giờ là đưa về dạng giới hạn cơ bản này để sử dụng kết quả đã được chứng minh.
Còn giới hạn ở vế thứ 2, mình đã chứng minh $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 - \cos \Delta x}{\Delta x} = 0$ ở một câu hỏi khác rồi.
Thay vào, ta có,
$$y'= \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 = \cos x$$