Áp dụng công thức định nghĩa đạo hàm,
$$f(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$
Hàm số đường thẳng là một hàm số có dạng $f(x) = ax + b$, thay định nghĩa hàm số này vào công thức đạo hàm, ta được,
$$y' = f(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{[a(x + h) + b] - (ax + b)}{h}$$
Nhân vào ta được,
$$ \begin{align} y' & = \lim_{h \to 0} \frac{ax + ah + b - ax - b}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{ah}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} a \\ & = a \end{align} $$
Điều này nói lên điều gì?
Đạo hàm của đường thẳng sẽ bằng chính giá trị của hệ số góc $a$ của đường thẳng đó.
Mà đường thẳng nằm ngang có hệ số góc $a = 0$ hay $y = 0x + b = b$, cho nên giá trị đạo hàm của đường thẳng nằm ngang sẽ bằng hệ số góc $a$ và bằng 0.
Đường thẳng có dạng:
$$y = ax + b$$
Đường thẳng nằm ngang tức là đường thẳng có hệ số góc $a = 0$:
$$y = 0x + b = b$$
Do đó đường thẳng nằm ngang có đặc điểm là với bất cứ giá trị đầu vào $x$ nào, giá trị đầu ra của $y$ vẫn không hề thay đổi và bằng $b$. Mà đạo hàm thì xét tính thay đổi của hàm số $y$ phụ thuộc vào $x$, ở đây $y$ không thay đổi tức là đạo hàm bằng 0.