Véc-tơ là gì?

Để đi tới khái niệm véc-tơ mình sẽ bắt đầu từ điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ nhé. Xét giả thuyết sau:

Trong tọa độ $Oxy$ cho $A(3,2)$:

Với $A(x,y)$ có tọa độ $x = 3$ và $y = 2$ được gọi là một điểm trong hệ trục tọa độ $Oxy$. Điều này quá đơn giản chắc hẳn ai cũng biết, mình sẽ đến tiếp với khái niệm rất đơn giản tiếp theo là đoạn thẳng.

Cho hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$:

Đường thẳng nối giữa hai điểm AB được gọi là đoạn thẳng AB, ký hiệu AB, rất đơn giản. Bây giờ chúng ta sẽ đến với khái niệm véc-tơ.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(x_1,y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ bất kỳ chúng ta luôn vẽ được một véc-tơ từ A tới B ký hiệu là $\overrightarrow{AB}$, hoặc chúng ta cũng có thể vẽ được một véc-tơ từ B tới A ký hiệu là $\overrightarrow{BA}$.

Hình ở trên là một véc-tơ có chiều bắt đầu từ A kết thúc tại B, ký hiệu $\overrightarrow{AB}$

Vậy, véc-tơ khác điểm ở chỗ nào?

• Véc-tơ bao gồm 2 điểm tạo thành.

Và, véc-tơ khác đoạn thẳng ở chỗ nào?

• Đoạn thẳng không có hướng (AB hay BA đều giống nhau), véc-tơ có hướng cho nên ($\overrightarrow{AB}$ sẽ khác $\overrightarrow{BA}$).

Từ đó mình đi đến khái niệm định nghĩa véc-tơ như sau:

Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng và có độ lớn

Khái niệm trên của vừa định nghĩa véc-tơ và đưa ra tính chất của véc-tơ luôn. Mình sẽ tiếp tục nói kỹ về hai tính chất này.

Tính chất của Véc-tơ?

Độ lớn của véc-tơ:

Độ lớn của véc-tơ hay còn gọi là độ dài của một véc-tơ $\overrightarrow{x}$ được ký hiệu là $\parallel x \parallel$,

Với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ ở trên, thì độ lớn véc-tơ $\parallel AB \parallel$ chính là độ dài đoạn thẳng AB,

Dựa vào hình trên, với $AC = 3$, $BC = 2$, chắc chắn bạn có thể tính được độ lớn véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ dựa vào định lý Pytago, Ta có:

$$AB^2 = AC^2 + CB^2$$

$$AB^2 = 3^2 + 2^2$$

$$AB = \sqrt {9+4} = \sqrt {13} $$

Hướng của véc-tơ:

Phần hướng của véc-tơ hơi khó hiểu mình sẽ đi từ từ có gì thắc mắc bạn cứ để bình luận bên dưới nhé. Đầu tiên mình sẽ đưa ra khái niệm hướng của véc-tơ rồi sẽ phân tích sau,

Định nghĩa: Hướng của một véc-tơ $x$ có tọa độ $x(x_1, x_2)$ là một véc-tơ $u$ có tọa độ $u\left(\frac{x_1}{\parallel x \parallel}, \frac{x_2}{\parallel x \parallel}\right)$

Tọa độ của véc-tơ $\vec{u}$ ở đâu ra ấy nhỉ? Tọa độ của $\vec{u}$ thì liên quan gì đến việc chúng ta đang xác định hướng của $\vec{x}$ ở đây?

À, thì ra là hướng của một véc-tơ trong hệ trục $Oxy$ là hệ số góc của véc-tơ đó với trục $Ox$ và trục $Oy$, và tọa độ của véc-tơ $\vec{u}$ ở đây chính là kết quả suy ra từ hệ số góc này.

Đọc tới đây, chắc bạn đã mường tượng được ý mình muốn nói rồi đúng không? Nếu không, đừng lo lắng, bạn hãy nhìn hình bên dưới,

Cho nên, muốn tính hướng của một véc-tơ, ta phải tính góc tạo bởi véc-tơ đó với hai trục tọa độ $Ox$ và $Oy$. Tức là ta phải tính $\alpha$ và $\beta$, từ $\alpha$ và $\beta$ suy ra tọa độ của véc-tơ $u$ cũng chính là hướng của véc-tơ $x$.

Áp dụng, một số tính chất tính góc của tam giác vuông, ta có:

$$\cos(\alpha) = \frac{\text{ck}}{\text{ch}}$$

Trong đó:

• ck: cạnh kề
• ch: cạnh huyền

Do đó, từ định nghĩa ban đầu ta có thể nói lại như sau: Hướng của véc-tơ $\vec{x}$ được xác định bằng hàm $\cos$ của góc $\alpha$ và $cos$ của góc $\beta$, từ đó ta suy ra,

$$\cos(\alpha) = \frac{x_1}{\parallel x \parallel}$$

$$\cos(\beta) = \frac{x_2}{\parallel x \parallel}$$

Công thức này cũng chính là tọa độ của véc-tơ $u$ mà mình định nghĩa lúc ban đầu.

Bây giờ, mình sẽ tính hướng của véc-tơ $\vec{x}$ từ hình đã cho với độ lớn của véc-tơ $x$ đã tính ban đầu $\parallel x \parallel = AB = \sqrt{13}$ và $x_1 = 3$, $x_2 = 2$ để làm ví dụ nhé:

$$\cos(\alpha) = \frac{x_1}{\parallel x \parallel} = \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0.83 $$

và

$$\cos(\beta) = \frac{x_2}{\parallel x \parallel} = \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55 $$

Vậy hướng của véc-tơ $\vec{x}$ là một véc-tơ $\vec{u}$ có tọa độ $u(0.83, 0.55)$, bây giờ bạn thay tọa độ của véc-tơ $\vec{u}$ vào biểu đồ thử xem véc-tơ $\vec{u}$ có chỉ đúng hướng của véc-tơ $\vec{x}$ ban đầu không nhé,

Điểm H trên hình ảnh hơi lệch một tí do mình tính xấp xỉ chưa chính xác, nhưng lý thuyết cơ bản về véc-tơ mình đã trình bày rồi. Còn một số lý thuyết nâng cao nữa nhưng mình nghĩ bao nhiêu đó là đủ cho câu hỏi của bạn rồi, hy vọng bạn sẽ hiểu.