2
Đạo hàm của e mũ x và e mũ -x là gì?
1
Khánh Chi10 đã đăng:

Mọi người cho mình hỏi đạo hàm của $e^x$ là gì ạ? Đạo hàm của $e^x$ và $e^{-x}$ có khác nhau không?

thêm bình luận...
6
Nguyễn Ngọc Khánh80 đã đăng:

Đạo hàm của $e^x$ cũng chính bằng $e^x$,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x \hspace{1cm} (1)$$

Đây cũng chính là điều đặc biệt của hàm số này với đồ thị mô tả đạo hàm trùng với đồ thị của hàm số gốc,

Đạo hàm của hàm số e mũ x

Công thức định nghĩa của đạo hàm là,

$$f(a)' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Mình sẽ dùng công thức này để chứng minh biểu thức $(1)$,

Ta có,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

Tách $e^{x+h}$ ra, ta được,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$$

Đặt $e^x$ làm thừa số chung,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}$$

Đưa giá trị thừa số chung về trước $\lim$,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} \hspace{1cm} (2)$$

Bạn có thể thấy, khi $h$ tiến về 0, cả tử số và mẫu số của giới hạn cũng tiến về 0,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^0 - 1}{0}$$

Điều này có nghĩa là chúng ta không thể thay trực tiếp giá trị $0$ vào để tính giới hạn được, nếu thay vào mẫu số sẽ bằng $0$, giới hạn sẽ bị không xác định ngay.

Do đó, chúng ta cần biến đổi thêm một chút nữa, chúng ta biết rằng, số $e$ có thể được khai triển ra như sau,

$$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \rightarrow 0} \left(1 + n \right)^{\frac{1}{n}}$$

Trở lại với biểu thức $(2)$, ta đặt,

$$n = e^h - 1 \Rightarrow n + 1 = e^h$$

Theo tính chất của hàm logarit tự nhiên cơ số $e$, ta có,

$$\ln(n + 1) = h$$

Thay vào biểu thức $(2)$,

$$(2) \Leftrightarrow \frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{n \rightarrow 0} \frac{n}{\ln(n + 1)} \hspace{1cm} (3)$$

Rút gọn tử số bằng cách nhân tử và mẫu cho $\frac{1}{n}$ ta có,

$$(3) = e^x\lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{ \frac{1}{n} \ln(n + 1)}$$

Áp dụng tính chất của logarit với $a \ln(b) = \ln \left( b^a \right)$,

$$ \begin{align} & = e^x \lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{\ln \left[ (n + 1)^{\frac{1}{n}} \right] } \\ & = e^x \frac{1}{\ln \left[ \lim_{n \rightarrow 0} (n + 1)^{\frac{1}{n}} \right] } \hspace{1cm} (4) \\ & = e^x \frac{1}{\ln(e)} \\ & = e^x \frac{1}{1} \\ & = e^x \end{align} $$

Kết quả ở biểu thức $(4)$ là hệ quả của việc khai triển cơ số $e$ mình đã nêu lúc đầu nha. Hy vọng bạn có thể hiểu được các bước mình chứng minh đạo hàm của $e^x$ sẽ bằng chính nó.

đã bổ sung 3.2 năm trước bởi
Zootopia60
Bình Định

Cái này bạn nào muốn tìm hiểu sâu tại sao đạo hàm của $e^x$ lại bằng chính nó thì mới nên đọc câu trả lời của @Nguyễn Ngọc Khánh, còn không thì hãy chấp nhận kết quả như là bảng công thức đạo hàm và áp dụng nó để tính toán.

Mr. Miệt Zườn 11.07.2018
thêm bình luận...
1
Nguyễn Ngọc Khánh80 đã đăng:

Còn câu hỏi thứ hai của bạn, về cách chứng minh cũng tương tự như trên nhưng kết quả sẽ khác, mình sẽ ghi luôn kết quả dưới này

Đạo hàm của $e^{-x}$,

$$f'(x) = \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$$

Ở đây mình áp dụng công thức đạo hàm từng phần, công thức này có thể phát biểu như sau:

Nếu biến $z$ phụ thuộc vào $y$, mà biến $y$ lại phụ thuộc vào $x$, vậy mối quan hệ giữa $z$ và $x$ sẽ được tính bằng công thức

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$$

Bạn có thể hiểu muốn tính được mối quan hệ giữa $z$ và $x$ ta phải dùng $y$ làm "cầu nối".

Áp dụng vào bài tập trên, ta có:

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = \frac{d}{de^{-x}} (e^{-x}) \frac{d}{dx}(-x)$$

Dùng lại cách chứng minh ở trên, ta có được đạo hàm của $e^{-x} = e^{-x}$, đạo hàm của $-x = -1$, từ đó

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x} \times -1 = -e^{-x}$$

đã bổ sung 3.2 năm trước bởi

Cảm ơn bạn đã giải thích.

Khánh Chi 11.12.2017
1

Mình cũng không chắc là có chỗ nào sai không, nếu có chỗ nào sai bạn nói lại mình biết nhé.

Nguyễn Ngọc Khánh 11.12.2017
thêm bình luận...

Câu trả lời của bạn

Chào mừng bạn đến với cộng đồng chia sẻ tri thức BanhoiTuidap.com, bạn có thể chia sẻ bất kỳ sự hiểu biết, nghiên cứu hoặc kinh nghiệm của mình về câu hỏi này với một số lưu ý:
  • Lịch sự, tế nhị.
  • Hạn chế ghi tắt, câu trả lời của bạn chỉ nên tập trung vào câu hỏi ở trên.
Câu trả lời của bạn sẽ được đăng ở chế độ cộng đồng, cho nên bạn sẽ không thể chỉnh sửa sau khi đăng, có thể đăng ký thành viên trên BanhoiTuidap.com khi bạn muốn theo dõi câu hỏi này hoặc chủ đề liên quan.
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)