Đạo hàm của $e^x$ cũng chính bằng $e^x$,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x \hspace{1cm} (1)$$

Đây cũng chính là điều đặc biệt của hàm số này với đồ thị mô tả đạo hàm trùng với đồ thị của hàm số gốc,

Công thức định nghĩa của đạo hàm là,

$$f(a)' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Mình sẽ dùng công thức này để chứng minh biểu thức $(1)$,

Ta có,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

Tách $e^{x+h}$ ra, ta được,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$$

Đặt $e^x$ làm thừa số chung,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}$$

Đưa giá trị thừa số chung về trước $\lim$,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} \hspace{1cm} (2)$$

Bạn có thể thấy, khi $h$ tiến về 0, cả tử số và mẫu số của giới hạn cũng tiến về 0,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^0 - 1}{0}$$

Điều này có nghĩa là chúng ta không thể thay trực tiếp giá trị $0$ vào để tính giới hạn được, nếu thay vào mẫu số sẽ bằng $0$, giới hạn sẽ bị không xác định ngay.

Do đó, chúng ta cần biến đổi thêm một chút nữa, chúng ta biết rằng, số $e$ có thể được khai triển ra như sau,

$$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \rightarrow 0} \left(1 + n \right)^{\frac{1}{n}}$$

Trở lại với biểu thức $(2)$, ta đặt,

$$n = e^h - 1 \Rightarrow n + 1 = e^h$$

Theo tính chất của hàm logarit tự nhiên cơ số $e$, ta có,

$$\ln(n + 1) = h$$

Thay vào biểu thức $(2)$,

$$(2) \Leftrightarrow \frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{n \rightarrow 0} \frac{n}{\ln(n + 1)} \hspace{1cm} (3)$$

Rút gọn tử số bằng cách nhân tử và mẫu cho $\frac{1}{n}$ ta có,

$$(3) = e^x\lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{ \frac{1}{n} \ln(n + 1)}$$

Áp dụng tính chất của logarit với $a \ln(b) = \ln \left( b^a \right)$,

$$ \begin{align} & = e^x \lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{\ln \left[ (n + 1)^{\frac{1}{n}} \right] } \\ & = e^x \frac{1}{\ln \left[ \lim_{n \rightarrow 0} (n + 1)^{\frac{1}{n}} \right] } \hspace{1cm} (4) \\ & = e^x \frac{1}{\ln(e)} \\ & = e^x \frac{1}{1} \\ & = e^x \end{align} $$

Kết quả ở biểu thức $(4)$ là hệ quả của việc khai triển cơ số $e$ mình đã nêu lúc đầu nha. Hy vọng bạn có thể hiểu được các bước mình chứng minh đạo hàm của $e^x$ sẽ bằng chính nó.

Còn câu hỏi thứ hai của bạn, về cách chứng minh cũng tương tự như trên nhưng kết quả sẽ khác, mình sẽ ghi luôn kết quả dưới này

Đạo hàm của $e^{-x}$,

$$f'(x) = \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$$

Ở đây mình áp dụng công thức đạo hàm từng phần, công thức này có thể phát biểu như sau:

Nếu biến $z$ phụ thuộc vào $y$, mà biến $y$ lại phụ thuộc vào $x$, vậy mối quan hệ giữa $z$ và $x$ sẽ được tính bằng công thức

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$$

Bạn có thể hiểu muốn tính được mối quan hệ giữa $z$ và $x$ ta phải dùng $y$ làm "cầu nối".

Áp dụng vào bài tập trên, ta có:

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = \frac{d}{de^{-x}} (e^{-x}) \frac{d}{dx}(-x)$$

Dùng lại cách chứng minh ở trên, ta có được đạo hàm của $e^{-x} = e^{-x}$, đạo hàm của $-x = -1$, từ đó

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x} \times -1 = -e^{-x}$$