Hàm số $y = \ln |x|$ có thể được viết lại như sau:
$$ y = \ln |x| = \begin{cases} \ln(x) & \quad \text{nếu } x > 0 \\ \ln(-x) & \quad \text{nếu } x < 0 \end{cases} $$
Đạo hàm của $\ln|x|$ sẽ bằng đạo hàm của hàm số theo 2 trường hợp $x > 0$ và $x < 0$
x > 0
: cần tính đạo hàm của $\ln(x)$
$$ \ln(x)' = \frac{1}{x} \hspace{1cm} (1)$$
Bạn có thể xem câu trả lời chứng minh $\ln(x)' = \frac{1}{x}$
x < 0
: cần tính đạo hàm của $\ln(-x)$
Đặt $y = -x$
Suy ra $\ln(-x) = \ln(y)$
Sử dụng công thức đạo hàm của $\ln(u) = \frac{u'}{u}$ (lưu ý lúc này $y$ là một hàm số chứ không phải một giá trị như biến $x$ nhé).
$$\ln(y)' = \frac{y'}{y} = \frac{(-x)'}{-x} = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$$
Hay:
$$\ln(-x)' = \ln(y)' = \frac{1}{x} \hspace{1cm} (2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$$\left( \ln |x| \right)' = \frac{1}{x}$$