2
Vì sao đạo hàm của $\ln(x)$ bằng $\frac{1}{x}$?
1
Bích Hậu10 đã đăng:

thêm bình luận...
2
trungkfc02540 đã đăng:

Đặt $y = \ln(x) \hspace{1cm} (1)$

Theo tính chất hàm Logarit, $e^{\ln(x)} = x$, áp dụng tính chất này, ta có thể biến đổi $(1)$ thành,

$$e^y = e^{\ln(x)}$$

$$\Leftrightarrow e^y = x$$

Đạo hàm hai vế, vế trái sử dụng đạo hàm từng phần $\left( e^u \right)' = u' e^u$, ta có.

$$ \begin{align} & (e^y)' = x' \\ & \Leftrightarrow y' e^y = 1 \\ & \Leftrightarrow y' = \frac{1}{e^y} \hspace{1cm} (2)\\ \end{align} $$

Mà như lúc đầu, $e^y = x$ do đó biểu thức $(2)$ có kết quả cuối cùng là,

$$y' = \frac{1}{x}$$

đã bổ sung 2.9 năm trước bởi
Avatar: trungkfc02 trungkfc02540
thêm bình luận...
2
Popcorn50 đã đăng:

Áp dụng công thức định nghĩa đạo hàm cho bài toán này cũng có thể chứng minh được $\ln(x)' = \frac{1}{x}$

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}$$

Theo tính chất hàm Logarit

$$\ln(a) - \ln(b) = \ln \left(\frac{a}{b} \right)$$

Ta có

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln \left( \frac{x + h}{x} \right)}{h}$$

$$\frac{x + h}{x} = 1 + \frac{h}{x}$$

Cộng thêm với việc tách $h$ ra khỏi mẫu số thành $\frac{1}{h}$ ta được

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln \left( 1 + \frac{h}{x} \right)$$

Áp dụng tính chất của hàm Logarit

$$a \ln(b) = \ln \left( b^a \right)$$

Ta có

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \ln \left[ \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} \right]$$

Đặt $n = \frac{h}{x}$ suy ra $h = nx$ kéo theo $\frac{1}{h} = \frac{1}{nx}$

Khi $h \to 0$, dễ dàng nhận thấy $n \to 0$, cho nên

$$ \begin{align} \ln(x)' & = \lim_{n \to 0} \ln \left[ \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{nx}} \right] \\ & = \lim_{n \to 0} \ln \left[ \left( \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} \right)^{\frac{1}{x}} \right] \\ & = \frac{1}{x} \lim_{n \to 0} \ln \left[ \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} \right] \\ & = \frac{1}{x} \ln \left[ \lim_{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} \right] \hspace{1cm} (1) \\ \end{align} $$

Mà giới hạn bên trong chính là công thức khai triển của hằng số $e$

$$e = \lim_{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}}$$

Cho nên $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x} \ln e$, mà $\ln e = 1$, cho nên ta có kết quả cần chứng minh

$$\ln(x)' = \frac{1}{x} \times 1 = \frac{1}{x}$$

đã bổ sung 2.9 năm trước bởi
Avatar: Popcorn Popcorn50
thêm bình luận...

Câu trả lời của bạn

Chào mừng bạn đến với cộng đồng chia sẻ tri thức BanhoiTuidap.com, bạn có thể chia sẻ bất kỳ sự hiểu biết, nghiên cứu hoặc kinh nghiệm của mình về câu hỏi này với một số lưu ý:
  • Lịch sự, tế nhị.
  • Hạn chế ghi tắt, câu trả lời của bạn chỉ nên tập trung vào câu hỏi ở trên.
Câu trả lời của bạn sẽ được đăng ở chế độ cộng đồng, cho nên bạn sẽ không thể chỉnh sửa sau khi đăng, có thể đăng ký thành viên trên BanhoiTuidap.com khi bạn muốn theo dõi câu hỏi này hoặc chủ đề liên quan.
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)