Đặt $y = \ln(x) \hspace{1cm} (1)$

Theo tính chất hàm Logarit, $e^{\ln(x)} = x$, áp dụng tính chất này, ta có thể biến đổi $(1)$ thành,

$$e^y = e^{\ln(x)}$$

$$\Leftrightarrow e^y = x$$

Đạo hàm hai vế, vế trái sử dụng đạo hàm từng phần $\left( e^u \right)' = u' e^u$, ta có.

$$ \begin{align} & (e^y)' = x' \\ & \Leftrightarrow y' e^y = 1 \\ & \Leftrightarrow y' = \frac{1}{e^y} \hspace{1cm} (2)\\ \end{align} $$

Mà như lúc đầu, $e^y = x$ do đó biểu thức $(2)$ có kết quả cuối cùng là,

$$y' = \frac{1}{x}$$

Áp dụng công thức định nghĩa đạo hàm cho bài toán này cũng có thể chứng minh được $\ln(x)' = \frac{1}{x}$

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}$$

Theo tính chất hàm Logarit

$$\ln(a) - \ln(b) = \ln \left(\frac{a}{b} \right)$$

Ta có

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln \left( \frac{x + h}{x} \right)}{h}$$

Mà

$$\frac{x + h}{x} = 1 + \frac{h}{x}$$

Cộng thêm với việc tách $h$ ra khỏi mẫu số thành $\frac{1}{h}$ ta được

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln \left( 1 + \frac{h}{x} \right)$$

Áp dụng tính chất của hàm Logarit

$$a \ln(b) = \ln \left( b^a \right)$$

Ta có

$$\ln(x)' = \lim_{h \to 0} \ln \left[ \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} \right]$$

Đặt $n = \frac{h}{x}$ suy ra $h = nx$ kéo theo $\frac{1}{h} = \frac{1}{nx}$

Khi $h \to 0$, dễ dàng nhận thấy $n \to 0$, cho nên

$$ \begin{align} \ln(x)' & = \lim_{n \to 0} \ln \left[ \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{nx}} \right] \\ & = \lim_{n \to 0} \ln \left[ \left( \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} \right)^{\frac{1}{x}} \right] \\ & = \frac{1}{x} \lim_{n \to 0} \ln \left[ \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} \right] \\ & = \frac{1}{x} \ln \left[ \lim_{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} \right] \hspace{1cm} (1) \\ \end{align} $$

Mà giới hạn bên trong chính là công thức khai triển của hằng số $e$

$$e = \lim_{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}}$$

Cho nên $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x} \ln e$, mà $\ln e = 1$, cho nên ta có kết quả cần chứng minh

$$\ln(x)' = \frac{1}{x} \times 1 = \frac{1}{x}$$