[+1] cho sự tò mò với câu hỏi hay của bạn và [-1] cho những ai chỉ biết áp dụng công thức tích phân, đạo hàm mà thật sự không biết bản chất bên trong cũng như mối quan hệ giữa chúng là gì, chỉ vui thôi :P, mình sẽ giải thích một cách chi tiết, hy vọng sẽ dễ hiểu.
Nghe có vẻ không hợp lý khi nói rằng tìm tích phân
(hay diện tích mặt phẳng được tạo bởi đường cong) bằng tìm đối nghịch của đạo hàm
(hay đường thẳng tiếp tuyến của đường cong) và ngược lại như bạn nói, nhưng đây là một trong những định lý căn bản nhất trong giải tích khi xét về mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân.
Nhắc lại xíu, tính tích phân thực chất là tính diện tích của từng vùng nhỏ hình chữ nhật được dùng để xấp xỉ mặt phẳng bên dưới đường cong, sau đó cộng tất cả diện tích các vùng nhỏ lại, do đó nếu vùng hình chữ nhật càng nhỏ, kết quả xấp xỉ càng chính xác.
Và câu hỏi đặt ra ở đây, làm thế nào để tính diện tích của một vùng nhỏ hình chữ nhật? Phần thú vị giúp sáng tỏ thắc mắc của bạn nằm ở chỗ này, bây giờ mình sẽ chọn lấy 1 vùng chữ nhật ngẫu nhiên và phóng to nó lên, đặt một vài ký hiệu cho dễ hình dung, ta được như hình bên dưới,
Đặt diện tích mặt phẳng được tạo bởi đường cong từ $0$ đến $x$ là $A(x)$, từ $0$ đến $x + h$ là $A(x + h)$, đơn giản, để tính diện tích vùng màu vàng, chỉ cần lấy diện tích:
$$A(x + h) - A(x)$$
Mà chúng ta biết rằng diện tích vùng màu vàng được tạo bởi 2 phần bao gồm diện tích hình chữ nhật ABCD và một phần nhỏ thuộc hình chữ nhật CDEF đúng không nào, thì chắc chắn một điều rằng,
$$S_{ABCD} < A(x + h) - A(x) < S_{ABFE} \hspace{1cm} (1)$$
Công thức (1) được diễn giải như sau:
Diện tích của hình chữ nhật ABCD chắc chắn sẽ nhỏ hơn diện tích vùng màu vàng, diện tích của vùng màu vàng chắc chắn sẽ nhỏ hơn diện tích của hình chữ nhật lớn ABFE.
Quay trở lại toán tiểu học :P, diện tích của hình chữ nhật sẽ bằng chiều dài x chiều rộng. Do đó, biểu thức (1) tương đương:
$$f(x) \cdot h < A(x + h) - A(x) < f(x + h) \cdot h$$
Chia tất cả cho $h$, ta được:
$$f(x) < \frac{A(x + h) - A(x)}{h} < f(x + h) \hspace{1cm} (2)$$
Nhìn biểu thức giữa làm bạn liên tưởng đến điều gì, nó chỉ thiếu mỗi việc gán thêm giới hạn $\lim_{h \to 0}$ để trở thành công thức định nghĩa của đạo hàm rồi đúng không, chúng ta đang đi đúng hướng rồi đó.
Nhắc lại công thức định nghĩa đạo hàm một chút cho những ai quên:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$
Thêm $\lim_{h \to 0}$ vào 3 vế của biểu thức (2), thực chất chúng ta đang tính đạo hàm của 3 vế ở biểu thức (2), ta được:
$$\lim_{h \to 0}f(x) < \lim_{h \to 0}\frac{A(x + h) - A(x)}{h} < \lim_{h \to 0}f(x + h)$$
$$\Leftrightarrow f(x) < A'(x) < f(x) $$
Thật ngạc nhiên, chúng ta có hai vế trái và phải bằng nhau và cùng là $f(x)$, cho nên chúng ta có thể suy ra:
$$A'(x) = f(x) \hspace{1cm} (3)$$
Kết quả chúng ta tìm được là biểu thức (3), vậy nó nói lên điều gì?
Đạo hàm biểu thức tính diện tích sẽ bằng hàm số gốc của đường cong tạo nên diện tích đó. Vậy, biểu thức tính diện tích sẽ bằng đối nghịch đạo hàm (hay còn gọi là nguyên hàm) hàm số gốc của đường cong tạo nên diện tích đó.
Biểu thức tính diện tích chính xác là tích phân như mình đã giải thích ban đầu. Vậy kết luận, tích phân là đối nghịch của đạo hàm, hay diện tích tạo bởi đường cong là đối nghịch của đường thẳng tiếp tuyến với đường cong đó.