1
Tại sao tích phân là đảo ngược của đạo hàm trong khi chúng áp dụng khác nhau?
1
QuangK10 đã đăng:

Theo mình biết thì

Đạo hàm: tìm đường thẳng tiếp tuyến tại một điểm trên đường cong.

Tích phân: tìm diện tích mặt phẳng bên dưới được tạo bởi đường cong.

Mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân được xem là đối nghịch nhau, cho một hàm số là kết quả đạo hàm của hàm số gốc, ta cũng có thể dùng tích phân để khôi phục lại hàm số gốc từ kết quả đạo hàm.

Bạn có thấy sự khác lạ ở đây không, đối nghịch của đường thẳng tiếp tuyến trên đường cong (hay còn gọi là nguyên hàm) tại sao lại là diện tích mặt phẳng bên dưới được tạo bởi đường cong vậy? Hy vọng một ai giúp mình thông não chỗ này.

Đạo hàm và tích phân

thêm bình luận...
3
Mr. Miệt Zườn320 đã đăng:

[+1] cho sự tò mò với câu hỏi hay của bạn và [-1] cho những ai chỉ biết áp dụng công thức tích phân, đạo hàm mà thật sự không biết bản chất bên trong cũng như mối quan hệ giữa chúng là gì, chỉ vui thôi :P, mình sẽ giải thích một cách chi tiết, hy vọng sẽ dễ hiểu.

Nghe có vẻ không hợp lý khi nói rằng tìm tích phân (hay diện tích mặt phẳng được tạo bởi đường cong) bằng tìm đối nghịch của đạo hàm (hay đường thẳng tiếp tuyến của đường cong) và ngược lại như bạn nói, nhưng đây là một trong những định lý căn bản nhất trong giải tích khi xét về mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân.

Nhắc lại xíu, tính tích phân thực chất là tính diện tích của từng vùng nhỏ hình chữ nhật được dùng để xấp xỉ mặt phẳng bên dưới đường cong, sau đó cộng tất cả diện tích các vùng nhỏ lại, do đó nếu vùng hình chữ nhật càng nhỏ, kết quả xấp xỉ càng chính xác.

Tích phân tính diện tích mặt phẳng S tạo bởi đường cong

Và câu hỏi đặt ra ở đây, làm thế nào để tính diện tích của một vùng nhỏ hình chữ nhật? Phần thú vị giúp sáng tỏ thắc mắc của bạn nằm ở chỗ này, bây giờ mình sẽ chọn lấy 1 vùng chữ nhật ngẫu nhiên và phóng to nó lên, đặt một vài ký hiệu cho dễ hình dung, ta được như hình bên dưới,

Giải thích chi tiết cách tính tích phân

Đặt diện tích mặt phẳng được tạo bởi đường cong từ $0$ đến $x$ là $A(x)$, từ $0$ đến $x + h$ là $A(x + h)$, đơn giản, để tính diện tích vùng màu vàng, chỉ cần lấy diện tích:

$$A(x + h) - A(x)$$

Mà chúng ta biết rằng diện tích vùng màu vàng được tạo bởi 2 phần bao gồm diện tích hình chữ nhật ABCD và một phần nhỏ thuộc hình chữ nhật CDEF đúng không nào, thì chắc chắn một điều rằng,

$$S_{ABCD} < A(x + h) - A(x) < S_{ABFE} \hspace{1cm} (1)$$

Công thức (1) được diễn giải như sau:

Diện tích của hình chữ nhật ABCD chắc chắn sẽ nhỏ hơn diện tích vùng màu vàng, diện tích của vùng màu vàng chắc chắn sẽ nhỏ hơn diện tích của hình chữ nhật lớn ABFE.

Quay trở lại toán tiểu học :P, diện tích của hình chữ nhật sẽ bằng chiều dài x chiều rộng. Do đó, biểu thức (1) tương đương:

$$f(x) \cdot h < A(x + h) - A(x) < f(x + h) \cdot h$$

Chia tất cả cho $h$, ta được:

$$f(x) < \frac{A(x + h) - A(x)}{h} < f(x + h) \hspace{1cm} (2)$$

Nhìn biểu thức giữa làm bạn liên tưởng đến điều gì, nó chỉ thiếu mỗi việc gán thêm giới hạn $\lim_{h \to 0}$ để trở thành công thức định nghĩa của đạo hàm rồi đúng không, chúng ta đang đi đúng hướng rồi đó.

Nhắc lại công thức định nghĩa đạo hàm một chút cho những ai quên:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Thêm $\lim_{h \to 0}$ vào 3 vế của biểu thức (2), thực chất chúng ta đang tính đạo hàm của 3 vế ở biểu thức (2), ta được:

$$\lim_{h \to 0}f(x) < \lim_{h \to 0}\frac{A(x + h) - A(x)}{h} < \lim_{h \to 0}f(x + h)$$

$$\Leftrightarrow f(x) < A'(x) < f(x) $$

Thật ngạc nhiên, chúng ta có hai vế trái và phải bằng nhau và cùng là $f(x)$, cho nên chúng ta có thể suy ra:

$$A'(x) = f(x) \hspace{1cm} (3)$$

Kết quả chúng ta tìm được là biểu thức (3), vậy nó nói lên điều gì?

Đạo hàm biểu thức tính diện tích sẽ bằng hàm số gốc của đường cong tạo nên diện tích đó. Vậy, biểu thức tính diện tích sẽ bằng đối nghịch đạo hàm (hay còn gọi là nguyên hàm) hàm số gốc của đường cong tạo nên diện tích đó.

Biểu thức tính diện tích chính xác là tích phân như mình đã giải thích ban đầu. Vậy kết luận, tích phân là đối nghịch của đạo hàm, hay diện tích tạo bởi đường cong là đối nghịch của đường thẳng tiếp tuyến với đường cong đó.

Wow, rất cảm ơn câu trả lời của bạn. Mình còn thắc mắc chỗ kết luận từ biểu thức (3) của bạn ở vế thứ hai:

... biểu thức tính diện tích sẽ bằng đối nghịch đạo hàm (hay còn gọi là nguyên hàm) hàm số gốc của đường cong tạo nên diện tích đó.

Bạn có thể giải thích rõ hơn hàm ý chỗ này không ạ?

QuangK 24.06.2018
1

Mình nghĩ ý của bạn @Mr. Miệt Zườn là:

  1. Đạo hàm là hạ bậc.
  2. Kết quả hạ bậc của biểu thức tính diện tích $A(x)$ bằng hàm số gốc (hay $A'(x) = f(x)$)
  3. Câu hỏi vậy biểu thức tính diện tích gốc $A(x)$ sẽ bằng gì?

Đơn giản, biểu thức gốc $A(x)$ sẽ bằng tăng bậc của kết quả đạo hàm $A'(x)$, mà:

  1. Tăng bậc là nghịch đảo của hạ bậc.
  2. Nếu tăng bậc $A'(x)$ thì $f(x)$ cũng phải tăng bậc theo để vẫn đảm bảo rằng $A'(x) = f(x)$.

Nguyên hàm

Cho nên, biểu thức diện tích sẽ bằng tăng bậc của hàm số gốc $f(x)$, hay nói toán học một chút là bằng đối nghịch đạo hàm của hàm số gốc $f(x)$.

thanhminh93 24.06.2018

Đã hiểu, cảm ơn bạn đã giải thích thêm.

QuangK 25.06.2018

Cho mình hỏi tại sao ta có thể suy ra $\lim_{h \to 0} f(x) = \lim_{h \to 0} f(x + h) = f(x)$ ạ?

Thu Lan 16.08.2018

Ở giới hạn đầu tiên, $h \to 0$ không liên quan gì đến $f(x)$ cả, $f(x)$ vẫn là $f(x)$, bởi vì $h$ không tham gia vào biểu thức bên trong $\lim$. Cũng tương tự như giới hạn của hàm số $\lim_{t \to 0} x^2$ chẳng hạn thì vẫn bằng $x^2$ thôi, sự tiến tới $0$ của $t$ không ảnh hưởng gì đến hàm số $x^2$ cả.

Ở giới hạn thứ hai, ta có,

$$\lim_{h \to 0} f(x + h) = f(x + 0) = f(x)$$

Cho nên,

$$\lim_{h \to 0} f(x) = \lim_{h \to 0} f(x + h) = f(x)$$

trungkfc02 16.08.2018

Chỗ dòng cuối lấy lim 2 vế bất đẳng thức phải thêm dấu bằng vào bạn ơi.

Cộng đồng 10.07.2019

Dòng nào vậy bạn?

Văn Thủy 11.07.2019
thêm bình luận...
0
Member44450 đã đăng:

Theo mình nghĩ thì:

  • Đạo hàm giúp ta tìm điểm biến thiên của hàm số (vài trường hợp đặc biệt là điểm uốn) và đây cũng chính là tiếp điểm với tiếp tuyến.

  • Còn tích phân là phép tính tổng các (giá trị hàm số tại một điểm) $\times$ (vi phân của nó tại điểm đó) của một hàm số, mấy cụ ta gọi cho gần là tính diện tích tổng quát hóa xấp xỉ gần như chính xác bằng cách chia nhỏ gần như 0, vì vi phân càng gần 0 thì càng chính xác và (giá trị hàm số tại một điểm) $\times$ (vi phân của nó tại điểm đó) lại bằng nguyên hàm của hàm số đó.

LÀ DO MẤY ÔNG TỪ XƯA LẤY TỪ TOÁN THỰC TẾ RỒI MỚI TÌM RA ĐƯỢC CHỨ TÌM LÝ DO VÌ SAO CHÚNG CÓ QUAN HỆ NHƯ THẾ THÌ MỆT LẮM.

đã bổ sung 5.3 năm trước bởi

Theo mình bạn nên để >= và <= Sẽ hợp lí hơn nhiều

Cộng đồng 02.04.2023
thêm bình luận...
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)