2
Đạo hàm giá trị tuyệt đối của |x| là gì?
1
Mỹ Nương30 đã đăng:

Tính đạo hàm của hàm số chứa giá trị tuyệt đối y = |x|?

2

Sử dụng công thức đạo hàm chuỗi nha bạn, công thức có dạng như sau:

$$y = f(g) \Rightarrow y' = \left[ f(g) \right]' g' \hspace{1cm} (1)$$

Muốn áp dụng công thức này trước hết, chuyển $|x|$ về dạng căn, ta có $|x| \Leftrightarrow \sqrt{x^2}$, do đó, đề bài của bạn có thể được viết lại như sau:

$$y = \sqrt{x^2}$$

Rồi áp dụng quy tắc đạo hàm chuỗi theo công thức như ban đầu mình đã nêu với:

  • $f(g) = \sqrt{x^2} \Rightarrow \left[ f(g) \right]' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2}}$ (sử dụng công thức đạo hàm của căn x nha)
  • $g = x^2 \Rightarrow g' = 2x$

Thế kết quả vào (1), đạo hàm của y sẽ bằng:

$$y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2}} 2x$$

Rút gọn số $2$ ở tử và mẫu đi, ta có đáp án:

$$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2}} = \frac{x}{|x|}$$

Quang Thiên 01.06.2018

Tại sao $g' =2x$ ạ? Ai giải thích dùm e với.

Cộng đồng 14.08.2019

Omg, $g'$ là đạo hàm của $g$, mà đạo hàm của $x^2$ chính là bằng $2x$ đó bạn, bảng công thức đạo hàm có nhé.

trungkfc02 14.08.2019

Cho mình hỏi |x|=√2^2 là công thức hay từ đâu ra vậy ạ

Cộng đồng 07.08.2021

Từ công thức đấy bạn ơi, trên wiki về giá trị tuyệt đối cũng có nhắc tới mệnh đề này.

Cộng đồng 13.08.2021

vì sao g= x2 vậy ạ. Em không hiểu chỗ tại sao từ f(g)= căn x^2 mà suy ra được g= x^2. em cảm ơn

Cộng đồng 14.09.2021

Chỗ đó không phải suy ra đâu bạn ơi, người ta chỉ đang đi tính từng phần của biểu thức (1), ở biểu thức (1) có 2 phần đó là [f(g)]' và g' trong đó f(g) = $\sqrt{x^2}$ và g = $x^2$ thì ta dễ dàng suy ra [f(g)]' = $[\sqrt{x^2}]'$ và g' = $(x^2)'$.

Cộng đồng 14.09.2021

ý em là làm sao để biết nhìn vào f(g) mà biết g bằng bao nhiêu vậy ạ

Cộng đồng 14.09.2021
thêm bình luận...
4
Ðức FC110 đã đăng:

Bạn cũng có thể sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa chuẩn để tính đạo hàm của hàm số y = |x|,

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - x}{\Delta x}$$

Thay giá trị |x| vào, đạo hàm của y sẽ được tính bằng,

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|x + \Delta x| - |x|}{\Delta x} \hspace{1cm} (1)$$

Nhìn vào biểu thức đạo hàm trên, bạn có thể thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định tại vị trí $\Delta x = 0$, bởi vì hàm số y = |x| là một hàm số không liên tục và có dạng,

$$ y = \begin{cases} x & \quad \text{nếu } x \geq 0\\ -x & \quad \text{nếu } x < 0 \end{cases} $$

nếu vẽ đồ thị của hàm số y = |x|, bạn sẽ thấy rõ hơn,

Đồ thị hàm số y = |x|

Cho nên, chúng ta không thể thay trực tiếp $\Delta x = 0$ vào (1) để tính được, chúng ta cần biến đổi thành một dạng khác để mẫu khác 0 khi thay $\Delta x = 0$ vào là được, có nhiều cách làm, mình sẽ làm như sau,

Thứ nhất, đưa phương trình về dạng căn của bình phương, bởi vì chúng ta biết rằng $|x| = \sqrt{x^2}$,

$$(1) \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{(x + \Delta x)^2} - \sqrt{x^2}}{\Delta x}$$

Thứ hai, nhân tử và mẫu cho $\sqrt{(x + \Delta x)^2} + \sqrt{x^2}$ mục đích để khử trường hợp mẫu bằng 0,

$$\Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \left(\sqrt{(x + \Delta x)^2} - \sqrt{x^2} \right) \left(\sqrt{(x + \Delta x)^2} + \sqrt{x^2} \right)}{\Delta x \left(\sqrt{(x + \Delta x)^2} + \sqrt{x^2} \right)}$$

Tới đây, bạn có thể tính toán nhân chia cộng trừ bình thường được rồi, mình sẽ tiếp tục,

$$ \begin{align} & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2 + x^2(x+\Delta x)^2 - x^2(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x \left(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}\right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2 - x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x \Delta x + \Delta x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{2x \Delta x}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} + \frac{\Delta x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \right) \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{2x}{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}} + \frac{\Delta x}{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}} \right) \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}} \hspace{1cm} (2) \end{align} $$

Vì $\Delta x$ tiến tới 0, và sau một hồi biến đổi, bạn có thể thay $\Delta x = 0$ vào (2), ta được,

$$ \begin{align} & = \frac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}} \\ & = \frac{2x}{2\sqrt{x^2}} \\ & = \frac{x}{\sqrt{x^2}} \\ & = \frac{x}{|x|} \end{align} $$

mình còn thấy có sách ghi thêm trường hợp âm, khi u(X) là hàm nghịch biến. bạn nào giải thích giùm mình với

Cộng đồng 16.07.2021
thêm bình luận...
2
trungkfc02560 đã đăng:

Kết quả câu trả lời của bạn @Đức FC@Quang Thiên rất chính xác nhưng nó nói chung cho mọi trường hợp của $x$, mình xin viết lại kết quả đạo hàm giá trị tuyệt đối của $x$ là $\frac{x}{|x|}$ (theo câu trả lời của bạn @Đức FC) thành một dạng khác cho những bạn nào cảm thấy khó hiểu, về ý nghĩa thì hoàn toàn giống nhau nhé.

$$ y' = \begin{cases} 1 & \quad \text{nếu } x > 0 \\ -1 & \quad \text{nếu } x < 0 \hspace{1cm} (1) \\ \nexists & \quad \text{nếu }x = 0 \end{cases} $$

Với $\nexists$ có nghĩa là không xác định hoặc không tồn tại. Tại sao mình có thể viết như thế được? Đó là kết quả của việc mình sử dụng khái niệm giới hạn trái và giới hạn phải để tính đạo hàm thay vì biến đổi như bạn @Đức FC (đó cũng chỉ là một trong tính chất của giới hạn thôi)

Nếu giới hạn trái tại $x^{-}$ bằng giới hạn phải tại $x^{+}$ thì đạo hàm được xác định tại $x$ và ngược lại.

Mình sẽ làm như sau,

Xét trường hợp x >0 thì:

$$y = x \Rightarrow y' = 1 \hspace{1cm} (2)$$

Xét trường hợp x < 0 thì:

$$y = -x \Rightarrow y' = - 1 \hspace{1cm} (3) $$

Xét trường hợp x = 0, tương tự như trên, theo định nghĩa công thức đạo hàm, bạn dễ dàng nhận thấy khi $x$ tiến tới 0, đạo hàm không xác định, và mình sẽ sử dụng khái niệm giới hạn trái - phải để chứng minh là nó không xác định tại $x = 0$,

Tính giới hạn phải,

$$y'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} = \frac{f(x) - f(0^+)}{x - 0^+} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$$

Tính giới hạn trái,

$$y'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} = \frac{f(x) - f(0^-)}{x - 0^-} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$$

Do giới hạn phải khác với giới hạn trái tại $x = 0$,

$$y'(0^+) = 1 \neq y'(0^-) = -1 \Rightarrow \nexists y'(0) \hspace{1cm} (4)$$

Cho nên không tồn tại đạo hàm tại $x = 0$. Từ $(2)$, $(3)$ và $(4)$ suy ra được biểu thức $(1)$ là kết quả cần tìm.

đã bổ sung 3.4 năm trước bởi
Avatar: trungkfc02 trungkfc02560

Ý nghĩa của việc $x$ tiến tới $0^+$ và $x$ tiến tới $0^-$ là sao vậy @trungkfc02, làm ơn giải thích rõ hơn.

Sin Sin 09.07.2018

Rất đơn giản,

  • $x \to 0^+$ tức là $x$ tiến từ các số lớn hơn $0$ về gần nhưng không bằng $0$, tức là từ bên phải về, cho nên gọi là giới hạn phải.
  • $x \to 0^-$ tức là $x$ tiến từ các số nhỏ hơn $0$ về gần nhưng không bằng $0$, tức là từ bên trái về, cho nên gọi là giới hạn trái.

Nhìn trên trục số bạn sẽ rõ hơn,

Trục số giới hạn trái và giới hạn phải

trungkfc02 09.07.2018

Mình hiểu rồi, cảm ơn bạn.

Sin Sin 09.07.2018

v cho mình hỏi là |f(u)| = ? thế mấy bạn

Cộng đồng 04.10.2021
thêm bình luận...
Bạn đang thắc mắc? Ghi câu hỏi của bạn và đăng ở chế độ cộng đồng (?)